Dada f ( x , y ) = x ² y .

b) Encontre a equação do plano tangente a f no ponto (1,1,1).

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente encontrar o plano tangente à função f dada no ponto de coordenadas cartesianas (1,1,1). Bem, como queremos encontrar o plano tangente a função nesse ponto, é de se esperar que o ponto (1,1,1) seja um ponto que pertence tanto à função f quanto ao plano em si. A gente sabe que qualquer plano pode ser descrito por uma equação linear de duas variáveis da forma:

A x - x 0 + B y - y 0 + C z - z 0 = 0

Ou, equivalentemente, podemos escrever z em função de x e y, dividindo a equação por C e redefinindo as constantes:

z - z 0 = a x - x 0 + b y - y 0

Onde o ponto ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) pertence ao plano. No nosso caso, o ponto que pertence tanto ao plano quanto à função é ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) = ( 1,1 , 1 ) . Então, a equação do plano será algo na forma:

z - 1 = a x - 1 + b y - 1

Agora, só precisamos determinar quem são os coeficientes a e b. Como a equação acima representa o plano tangente a função f, se pegarmos o plano y = 1 e olharmos sua interseção com o plano tangente, temos que a interseção será uma reta tangente à função f(x,y) no ponto (1,1,1). Se essa reta é a reta tangente à função f com y fixo, então a gente sabe qual é a inclinação dela: a inclinação vai ser a derivada parcial de f em relação à x! Então, a gente tem que, para y =1:

z - 1 = a x - 1 + b 1 - 1   ⇒ z - 1   = a ( x - 1 ) = ∂ f ( x , 1 ) ∂ x × ( x - 1 )

O mesmo raciocínio pode ser aplicado para x constante: pegando a interseção do plano x = 1 com o plano tangente, temos uma reta com inclinação ∂ f ( 1 , y ) ∂ y :

z - 1 = a 1 - 1 + b y - 1   ⇒ z - 1   = b ( y - 1 ) = ∂ f ( 1 , y ) ∂ y × ( y - 1 )

Então, para determinar os coeficientes do plano só precisamos calcular as derivadas parciais da função! Então vamos lá!

Passo 2

Para calcular o coeficiente a, precisamos derivar a função f(x,y) em relação à x e calcular seu valor no ponto (1,1,1). Para isso, consideramos a variável y como constante. Então, temos que:

a   =   ∂ f ∂ x =   y × ∂ ∂ x x ² =   2 x y

No ponto (1,1,1), isso é igual à 2. Então, a = 2. Agora fazemos a mesma coisa para y, dessa vez considerando x como constante:

b   =   ∂ f ∂ y = x ² × ∂ y ∂ y = x ²

Em (1,1,1), a expressão acima assume o valor 1. Então, temos que b = 1. Assim, já temos todas as informações necessárias para escrever a equação do plano tangente à função f no ponto (1,1,1). Montando a equação, obtemos

z - 1 = 2 x - 1 + 1 y - 1

Que pode ser reescrita como

z = 2 x + y - 2

Resposta

z = 2 x + y - 2

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