3) Dada a superfície de equação a x 2 - b x y + cos ⁡ z 3 - e z = 0 , para quais valores positivos de a e b o seu plano tangente no ponto P 0 = b , a , 0 é paralelo ao plano x - 2 y - z = 1 .

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema temos uma superfície dada por a x 2 - b x y + cos ⁡ z 3 - e z = 0 e nosso objetivo é determinar os valores de a e b de modo que o plano tangente no ponto P 0 = b , a , 0 seja paralela ao plano x - 2 y - z = 1 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para determinar o plano tangente de uma superfície, temos que aplicar a fórmula.

f x P 0 x - x 0 + f y P 0 y - y 0 + f z P 0 z - z 0 = 0

Dessa forma, os termos que multiplicam as variáveis x , y e z dos dois planos devem ser os mesmos para serem paralelos.

Sacou? Bora ver! 😐

Passo 2

Primeiro derivamos a equação da superfície parcialmente com relação a x

f x P 0 = ∂ a x 2 - b x y + cos ⁡ z 3 - e z ∂ x = ∂ a x 2 ∂ x - ∂ b x y ∂ x + ∂ cos ⁡ z 3 ∂ x - ∂ e z ∂ x

f x P 0 = 2 a x - b y

Aplicando o ponto P 0 ...

f x P 0 = 2 a b - b a

f x P 0 = a b

Agora o mesmo com relação a y

f y P 0 = ∂ a x 2 - b x y + cos ⁡ z 3 - e z ∂ y = ∂ a x 2 ∂ y - ∂ b x y ∂ y + ∂ cos ⁡ z 3 ∂ y - ∂ e z ∂ y

f y P 0 = - b x

Aplicando o ponto P 0

f y P 0 = - b 2

E por último com relação a z

f z P 0 = ∂ a x 2 - b x y + cos ⁡ z 3 - e z ∂ z = ∂ a x 2 ∂ z - ∂ b x y ∂ z + ∂ cos ⁡ z 3 ∂ z - ∂ e z ∂ z

f z P 0 = 3 z 2 cos ⁡ z 3 - e z

Aplicando o ponto P 0

f z P 0 = - 1

Substituindo essas informações e o ponto P 0 na equação do plano tangente, temos

f x P 0 x - x 0 + f y P 0 y - y 0 + f z P 0 z - z 0 = 0

a b x - b - b 2 y - a - z - 0 = 0

a b x - a b 2 - b 2 y + a b 2 - z = 0

a b x - b 2 y - z = 0

Portanto o plano tangente a superfície no ponto P 0 = b , a , 0 é dado por a b x - b 2 y - z = 0

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

E finalmente, para determinar os valores de a e b de modo que o plano tangente da superfície e o plano x - 2 y - z = 1 sejam paralelos, temos que comparar os dois planos.

De forma mais direta, a contante que multiplica x deve ser igual nas duas equações, assim como a constante que multiplica y e z ...

a b x - b 2 y - z = x - 2 y - z

Assim podemos montar um sistema como

a b = 1 - b 2 = - 2

Da segunda equação tiramos que b = 2 e consequentemente a = 1 2

a , b = 1 2 , 2

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

a , b = 1 2 , 2

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