Determine a equação de um plano que seja paralelo ao plano

z = 2 x + 3 y

E tangente ao gráfico da função

f x , y = x 2 + x y

Passo 1

Antes de mais nada para acharmos o plano tangente, temos que saber quem é o vetor gradiente de F . Sendo

z = x 2 + x y

F x , y , z = x 2 + x y - z

Então

∇ F x , y , z = 2 x + y , x , - 1

Passo 2

Ok, para continuarmos achando o plano tangente, precisamos saber quem é o ponto de tangencia. Para isso, vamos usar a informação de que nosso plano tangente é paralelo ao plano

z = 2 x + 3 y

Isso significa que seus vetores normais são múltiplos.

Se arrumarmos a equação desse plano para ficar igual a equação geral de um plano qualquer:

2 x + 3 y - z = 0

Temos que o vetor normal desse plano é o vetor

( 2,3 , - 1 )

Passo 3

Fazendo esse vetor ser múltiplo de ∇ F , temos

∇ F = λ 2,3 , - 1

2 x + y , x , - 1 = λ 2,3 , - 1

Assim

2 x + y = 2 λ x = 3 λ - 1 = - 1 λ

Dessa forma:

λ = 1

E assim:

x = 3

y = 2.1 - 2.3 = - 4

Passo 4

Já temos os valores de x e y no ponto de tangencia. Agora falta achar o valor de z . Para isso:

z = x 2 + x y

z = 3 2 + 3 . - 4

z = - 3

Otimo, agora já sabemos nosso ponto de tangencia:

P 0 = ( 3 , - 4 , - 3 )

Passo 5

Para encontrar o plano tangente agora, temos primeiro que achar o vetor gradiente de F no ponto de tangencia.

∇ F x , y , z = 2 x + y , x , - 1

∇ F 3 , - 4 , - 3 = 2.3 - 4,3 , - 1

∇ F 3 , - 4 , - 3 = ( 2,3 , - 1 )

Repare que deu igual ao vetor normal àquele plano dado na questão. Isso acontece porque esses dois vetores são proporcionais um ao outro e encontramos a constante de proporcionalidade λ = 1 .

Agora, finalmente, podemos substituir na equação do plano:

x , y , z ⋅ n → = P 0 ⋅ n →

x , y , z ∙ 2,3 , - 1 = ( 3 , - 4 , - 3 ) ∙ 2,3 , - 1

2 x + 3 y - z = 6 - 12 + 3

z = 2 x + 3 y + 3

Resposta

z = 2 x + 3 y + 3

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