Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

UNICAMP, Cálculo 2, P1, 2015.2, questão 3

Determine a equação do plano que é tangente ao paraboloide

z = 2 x 2 + 3 y ²

E paralelo ao plano

4 x - 3 y - z = 10

Passo 1

Antes de mais nada para acharmos o plano tangente, temos que saber quem é o vetor gradiente de F . Sendo

z = 2 x 2 + 3 y ²

F x , y , z = 2 x 2 + 3 y 2 - z

z

Então

∇ F x , y , z = 4 x ,   6 y ,   - 1

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Passo 2

Ok, para continuarmos achando o plano tangente, precisamos saber quem é o ponto de tangencia. Para isso, vamos usar a informação de que nosso plano tangente é paralelo ao plano

4 x - 3 y - z = 10

Isso significa que seus vetores normais são múltiplos.

Temos que o vetor normal desse plano é o vetor

( 4 , - 3 , - 1 )

Passo 3

Fazendo esse vetor ser múltiplo de ∇ F , temos

∇ F = λ 4 , - 3 , - 1

4 x ,   6 y ,   - 1 = λ 4 , - 3 , - 1

Assim

4 x = 4 λ 6 y = - 3 λ - 1 = - 1 λ

Dessa forma:

λ = 1

E assim:

x = 1

y = - 3 6 = - 1 2

Passo 4

Já temos os valores de x e y no ponto de tangencia. Agora falta achar o valor de z . Para isso:

z = 2 x 2 + 3 y ²

z = 2.1 2 + 3 . - 1 2 2

z = 11 4

Ótimo, agora já sabemos nosso ponto de tangencia:

P 0 = 1 , - 1 2 , 11 4

Passo 5

Para encontrar o plano tangente agora, temos primeiro que achar o vetor gradiente de F no ponto de tangencia.

∇ F x , y , z = 4 x ,   6 y ,   - 1

∇ F 1 , - 1 2 , 11 4 = 4 . 1 , 6 . - 1 2 , - 1

∇ F 1 , - 1 2 , 11 4 = 4   , - 3 , - 1

Repare que deu igual ao vetor normal àquele plano dado na questão. Isso acontece porque esses dois vetores são proporcionais um ao outro e encontramos a constante de proporcionalidade λ = 1 .

Agora, finalmente, podemos substituir na equação do plano:

x , y , z ⋅ n → = P 0 ⋅ n →

x , y , z ∙ 4   , - 3 , - 1 = 1 , - 1 2 , 11 4 ∙ 4   , - 3 , - 1

4 x - 3 y - z = 4 + 3 2 - 11 4

4 x - 3 y - z = 11 4

Resposta

4 x - 3 y - z = 11 4

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