Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Origem do Exercício

Determine a equação do plano tangente à superfície

z = f x , y = 3 x y 2 - 10 x 2

No ponto P ( 1,2 , 2 ) .

  1. z = 8 x - 10 y - 30
  2. z = - 8 x + 12 y - 18
  3. z = - 8 x + 12 y - 14
  4. z = - 8 x + 10 y - 10
  5. z = 8 x - 12 y + 18

Passo 1

É muito importante saber calcular a equação do plano tangente a uma superfície. Vamos lembrar da fórmula:

z - z 0 = ∂ f x 0 , y 0 ∂ x x - x 0 + ∂ f x 0 , y 0 ∂ y ( y - y 0 )

Onde x 0 ,   y 0 e z 0 são as coordenadas do ponto em que o plano toca a superfície. Dá pra ver que vamos basicamente precisar das derivadas parciais de f no ponto ( x 0 , y 0 ) , então vamos começar por aí.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro, a derivada parcial em relação a x :

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 3 x y 2 - 10 x 2 = 3 y 2 - 20 x

E calculando isso no ponto ( 1,2 , 2 ) , obtemos:

∂ f ( 1,2 , 2 ) ∂ x = 3 2 2 - 20 1 = 12 - 20 = - 8

Depois, a derivada parcial em relação a y :

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 3 x y 2 - 10 x 2 = 6 x y

E calculando isso no ponto ( 1,2 , 2 ) :

∂ f ( 1,2 , 2 ) ∂ y = 6 1 2 = 12

Passo 3

Beleza, agora podemos substituir isso na fórmula lá de cima:

z - z 0 = ∂ f x 0 , y 0 ∂ x x - x 0 + ∂ f x 0 , y 0 ∂ y ( y - y 0 )

z - z 0 = - 8 x - x 0 + 12 ( y - y 0 )

E vamos substituir também os pontos x 0 ,   y 0 e z 0 por ( 1,2 , 2 ) :

z - 2 = - 8 x - 1 + 12 ( y - 2 )

Agora vamos arrumar um pouco a equação:

z - 2 = - 8 x + 8 + 12 y - 24

z = - 8 x + 12 y - 14

Resposta

Letra (c).

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