Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado.

a )   z = 3 y 2 - 2 x 2 + x ,   ( 2 , - 1 , - 3 )

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar? O problema deu essa superfície

z = 3 y 2 - 2 x 2 + x

E pediu a equação do plano tangente. Vamos lembrar como se faz?

A equação do plano tangente é

f x x 0 , y 0 , z 0 . x - x 0 + f y x 0 , y 0 , z 0 . y - y 0 + f z x 0 , y 0 , z 0 . z - z 0 = 0

Mas quem é f ? É a função que formamos com a superfície dada! É só trazer z para um lado e igualar à zero. No nosso caso

f = 3 y 2 - 2 x 2 + x - z

Beleza?

Lembrando que o ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) é o ponto dado! Então precisamos encontrar as derivadas parciais, aplicar no ponto, e depois jogar tudo na equação do plano tangente!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Derivando parcialmente temos

f = 3 y 2 - 2 x 2 + x - z

∂ f ∂ x = - 4 x + 1 ,   ∂ f ∂ x 2 , - 1 , - 3 = - 7

∂ f ∂ y = 6 y ,   ∂ f ∂ y 2 , - 1 , - 3 = - 6

∂ f ∂ z = - 1

Beleza?

Agora nossa missão é resolver as outras de forma bem similar!

Passo 3

Agora vamos jogar tudo isso na equação do plano

f x x 0 , y 0 , z 0 . x - x 0 + f y x 0 , y 0 , z 0 . y - y 0 + f z x 0 , y 0 , z 0 . z - z 0 = 0

- 7 x - 2 - 6 y + 1 - z + 3 = 0

- 7 x - 6 y - z + 5 = 0

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

- 7 x - 6 y - z + 5 = 0

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