1 Determine o plano tangente à superfície r u , v = u , v , u 2 + v 2 , no ponto u , v = 1,1 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos apenas obter o plano tangente à curva parametrizada r u , v = u , v , u 2 + v 2 no ponto u , v = 1,1 .

Tem ideia do que podemos fazer? 🤔

Para calcular o plano tangente de uma curva parametrizada, temos que seguir uns passos...

Primeiro derivamos r em função de u e depois em função de v , assim obtendo dois vetores r u e r v .

Um plano é obtido a partir da equação genérica

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Os termos x 0 , y 0 e z 0 são as coordenadas de um ponto do plano.

a , b e c são coordenadas do produto vetorial entre r u e r v .

Vamos ver como fica nosso caso! 👀

Passo 2

Vamos começar derivando r em relação a u

r u = d u , v , u 2 + v 2 d u = d u d u , d v d u , d u 2 + v 2 d u

r u = 1 , 0 , 2 u

Agora vamos derivar com relação a v

r v = d u , v , u 2 + v 2 d v = d u d v , d v d v , d u 2 + v 2 d v

r v = 0 , 1 , 2 v

Calculando o produto vetorial entre r u e r v ...

r u × r v = i → j → k → 1 0 2 u 0 1 2 v = - 2 u , 2 u - 2 v , 1

Como u , v = 1,1 , então

r u × r v 1,1 = - 2,0 , 1

Portanto, vemos que a = - 2 , b = 0 e c = 1 .

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Precisamos encontrar as coordenadas x 0 , y 0 e z 0 . Pra isso, vamos substituir o ponto u , v = 1,1 em r u , v

r 1,1 = 1 , 1 , 1 2 + 1 2

r 1,1 = 1,1 , 2

Assim, vemos que x 0 = 1 , y 0 = 1 e z 0 = 2 .

Substituindo essas informações na equação geral do plano tangente, temos

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

- 2 x - 1 + 0 y - 1 + 1 z - 2 = 0

- 2 x + 2 + z - 2 = 0

- 2 x + z = 0

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

- 2 x + z = 0

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