Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Origem do Exercício

Determine o plano tangente à superfície esférica:

x 2 + 3 y 2 + z 2 = 22

No ponto P ( 1,2 , 3 ) .

(a) 2 x + 12 y + 3 z = 44

(b) x + 6 y + 3 z = 22

(c) x + 12 y + 3 z = 20

(d) 3 x + 6 y + 3 z = 22

(e) 3 x + 4 y + 3 z = 20

Passo 1

Lembra como é a equação do plano tangente a uma superfície no ponto x 0 , y 0 , z 0 ?

z - z 0 = ∂ f x 0 , y 0 ∂ x x - x 0 + ∂ f x 0 , y 0 ∂ y ( y - y 0 )

Claramente essa questão é um pouco estranha, porque a função é implícita! Estamos acostumados a calcular o plano tangente em funções desse tipo aqui:

z = f ( x , y )

Mas nesse caso, temos uma função desse tipo:

f x , y , z = C

Mas não tem problema, podemos arrumar a função para que ela se torne do primeiro tipo!

x 2 + 3 y 2 + z 2 = 22

z = ± 22 - x 2 - 3 y 2

Normalmente esse ± seria um problema, mas nós podemos descartar o - , já que estamos pensando no ponto P ( 1,2 , 3 ) , no qual o z é positivo!

Então vamos trabalhar com essa função aqui:

z = f x , y , = 22 - x 2 - 3 y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro precisamos calcular as derivadas parciais:

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 22 - x 2 - 3 y 2

Precisamos usar a regra da cadeia para fazer essa derivada:

∂ f ∂ x = ∂ 22 - x 2 - 3 y 2 ∂ 22 - x 2 - 3 y 2   .     ∂ ( 22 - x 2 - 3 y 2 ) ∂ x

Como a derivada de x é 1 2 x , vamos ficar com a seguinte expressão:

∂ f ∂ x = 1 2 22 - x 2 - 3 y 2   .     - 2 x = - 3 x 22 - x 2 - 3 y 2

E no caso da deriva em relação a y , vamos fazer quase a mesma coisa:

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 22 - x 2 - 3 y 2

∂ f ∂ y = ∂ 22 - x 2 - 3 y 2 ∂ 22 - x 2 - 3 y 2   .     ∂ ( 22 - x 2 - 3 y 2 ) ∂ y

∂ f ∂ y = 1 2 22 - x 2 - 3 y 2   .     - 6 y = - 3 y 22 - x 2 - 3 y 2

Beleza, calculamos as duas derivadas! Agora precisamos ver qual o valor delas no ponto x 0 , y 0 = ( 1,2 ) :

∂ f ∂ x = - x 22 - x 2 - 3 y 2         ⇒ ∂ f ( 1,2 ) ∂ x = - 1 22 - 1 2 - 3 ( 2 2 ) = - 1 3

∂ f ∂ y = - 6 y 22 - x 2 - 3 y 2         ⇒ ∂ f ( 1,2 ) ∂ y = - 6 22 - 1 2 - 3 ( 2 2 ) = - 6 3 = - 2

Passo 3

Agora vamos substituir os valores que encontramos para achar a equação do plano tangente:

z - z 0 = ∂ f x 0 , y 0 ∂ x x - x 0 + ∂ f x 0 , y 0 ∂ y ( y - y 0 )

z - 3 = - 1 3 x - 1 - 2 ( y - 2 )

z - 3 = - x 3 + 1 3 - 2 y + 4

Agora vamos multiplicar tudo por 3 , para eliminar as frações:

3 z - 9 = - x + 1 - 6 y + 12

x + 6 y + 3 z = 22

Pronto! Essa é a equação do plano tangente naquele ponto.

Resposta

Letra (b).

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