Mostre que os gráficos das funções f x , y = x 2 + y 2 e g x , y = 1 10 x 2 + y 2 + 5 2 se intersectam no ponto ( 3,4 , 5 ) e têm o mesmo plano tangente nesse ponto

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essas duas funções de duas variáveis

f x , y = x 2 + y 2

g x , y = 1 10 x 2 + y 2 + 5 2

E pediu para mostrarmos que essas curvas se intersectam no ponto ( 3,4 , 5 ) e têm o mesmo plano tangente nesse ponto!

Mas como mostrar tudo isso?

Vamos por partes! Para que os gráficos se intersectem eles precisam passar pelo mesmo ponto! Então precisamos mostrar que o mesmo ponto pertence aos dois gráficos! Aqui é só substituir o ponto nas funções e torcer para achar o mesmo valor!

Beleza?

E depois? Depois ele pede para mostrar que os planos tangentes nesse ponto são iguais, então precisamos achar os planos dos dois e comparar! Lembrando que a equação do plano tangente é

T x , y = f x 0 , y 0 + f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar calculando o valor do ponto ( 3,4 , 5 ) em cada função e verificar que dá o mesmo valor

f x , y = x 2 + y 2

f 3,4 = 3 2 + 4 2 = 25 = 5

g x , y = 1 10 x 2 + y 2 + 5 2

g 3,4 = 1 10 3 2 + 4 2 + 5 2 = 25 10 + 5 2

2,5 + 2,5 = 5

Beleza?

Mostramos a primeira parte!

Passo 3

Agora vamos calcular o plano tangente das funções!

Começando com f x , y = x 2 + y 2

f x = x x 2 + y 2 ,   f x 3,4 = 3 5

f y = y x 2 + y 2 ,   f y 3,4 = 4 5

E sabemos que f 3,4 = 5 , assim nosso plano tangente fica

T f x , y = 5 + 3 5 x - 3 + 4 5 x - 4

Tranquilo? Bora calcular o plano de g ! Com g x , y = 1 10 x 2 + y 2 + 5 2 temos

g x = x 5 ,   g x 3,4 = 3 5

g y = y 5 ,   g y 3,4 = 4 5

E o plano

T g x , y = 5 + 3 5 x - 3 + 4 5 ( x - 4 )

E verificamos que os planos são iguais!

T x = T y

No ponto ( 3,4 , 5 )

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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