Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Em quais pontos ( x , y , z ) da superfície

z = 8 + 2 ( x 2 + y 2 )

O plano tangente à superfície nesses pontos contém a origem ( 0 , 0,0 ) ?

  1. ( x , y , z ) tais que x 2 + y 2 = 2 e z = 8
  2. ( x , y , z ) tais que x 2 + y 2 = 4 e z = 16
  3. ( x , y , z ) tais que x 2 + y 2 = 4 e z = 4
  4. ( x , y , z ) tais que x 2 + y 2 = 1 e z = 10
  5. ( x , y , z ) tais que x 2 + y 2 = 2 e z = 12

Passo 1

Vamos descobrir qual o plano tangente dessa superfície.

Jogando tudo para um lado só e chamando de F x , y , z :

F x , y , z = 8 + 2 x 2 + y 2 - z

O gradiente de F é

∇ F x , y , z = 4 x ,   4 y ,   - 1

O plano tangente é no ponto de tangencia x 0 , y 0 , z 0 é

x - x 0 ,   y - y 0 , z - z 0 ∙ ∇ F x 0 , y 0 , z 0 = 0

x - x 0 ,   y - y 0 , z - z 0 ∙ 4 x 0 ,   4 y 0 ,   - 1 = 0

4 x 0 x - x 0 + 4 y 0 y - y 0 - z - z 0 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, queremos que esse plano contenha a origem, ou seja, o ponto x , y , z = ( 0,0 , 0 ) tem que satisfazer a equação do plano, então:

4 x 0 0 - x 0 + 4 y 0 0 - y 0 - 0 - z 0 = 0

- 4 x 0 2 - 4 y 0 2 + z 0 = 0

- 4 x 0 2 + y 0 2 + z 0 = 0

Assim, para que o plano tangente a superfície que contenha a origem, ele deve tangenciar a superfície em pontos ( x 0 , y 0 , z 0 ) que satisfaçam essa relação aí de cima.

Das opções, a única que deveria atender essa condição é a letra b , olha só:

Se x 2 + y 2 = 4 e z = 16

- 4 x 0 2 + y 0 2 + z 0 = 0 ⇒ - 4 4 + 16 = 0

Mas a letra a também atende:

x 2 + y 2 = 2 e z = 8

- 4 x 0 2 + y 0 2 + z 0 = 0 ⇒ - 4 2 + 8 = 0

PORÉM, os pontos indicados na letra a não estão contidos na superfície. Então é letra b mesmo.

Resposta

Letra b

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