2.3. Seja a > 0 e considere o plano tangente à superfície x y z = a num ponto do primeiro octante. Mostre que o tetraedro formado por este plano e os planos coordenados tem volume independente do ponto de tangência.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos mostrar que o volume do tetraedro formado pelo plano tangente a x y z = a no primeiro octante independe do ponto de tangencia, ou seja, para qualquer ponto de tangencia, o volume do tetraedro é igual.

E aí, tem ideia do que fazer? 🤔

Primeiro vamos obter o plano tangente a x y z = a pela fórmula

z = f x P 0 x - x 0 + f y P 0 y - y 0 + z 0

E o volume do tetraedro é dado por

V = 1 3 A b h

Onde A b é a área da base e h é a altura.

Vamos chamar de x 1 , y 1 e z 1 os valores em que o plano corta seus respectivos eixos, assim, podemos reescrever o volume do tetraedro como

V = 1 3 x 1 · y 1 2 z 1 → V = x 1 y 1 z 1 6

Com isso, temos que encontrar uma maneira de relacionar o plano tangente com o volume do tetraedro...

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se x y z = a , então

z = a x y

Fazendo f = z e calculando as derivadas parciais de f

f x = ∂ a x y ∂ x = - a x 2 y

f y = ∂ a x y ∂ y = - a x y 2

Substituindo da fórmula do plano tangente...

z = f x P 0 x - x 0 + f y P 0 y - y 0 + z 0

z = - a x 0 2 y 0 x - x 0 - a x 0 y 0 2 y - y 0 + z 0

Simplificando...

z = - a x x 0 2 y 0 + a x 0 y 0 - a y x 0 y 0 2 + a x 0 y 0 + z 0

z = - a x x 0 2 y 0 - a y x 0 y 0 2 + 2 a + x 0 y 0 z 0 x 0 y 0

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Para encontrar onde uma coordenada corta seu eixo, fazemos as duas outras coordenadas iguais a 0 , ou seja, para saber onde o plano corta o eixo x , fazemos y = z = 0 e x = x 1 .

0 = - a x 1 x 0 2 y 0 - a 0 x 0 y 0 2 + 2 a + x 0 y 0 z 0 x 0 y 0

a x 1 x 0 2 y 0 = 2 a + x 0 y 0 z 0 x 0 y 0

a x 1 x 0 = 2 a + x 0 y 0 z 0

x 1 = 2 a x 0 + x 0 2 y 0 z 0 a

Agora obtendo y 1 fazemos x = z = 0

0 = - a 0 x 0 2 y 0 - a y 1 x 0 y 0 2 + 2 a + x 0 y 0 z 0 x 0 y 0

a y 1 x 0 y 0 2 = 2 a + x 0 y 0 z 0 x 0 y 0

a y 1 y 0 = 2 a + x 0 y 0 z 0

y 1 = 2 a y 0 + x 0 y 0 2 z 0 a

Por último, fazendo x = y = 0 e z = z 1

z 1 = - a 0 x 0 2 y 0 - a 0 x 0 y 0 2 + 2 a + x 0 y 0 z 0 x 0 y 0

z 1 = 2 a + x 0 y 0 z 0 x 0 y 0

Bacana, não é? 😁

Passo 4

Por último, substituímos x 1 , y 1 e z 1 em V

V = x 1 y 1 z 1 6

V = 2 a x 0 + x 0 2 y 0 z 0 a 2 a y 0 + x 0 y 0 2 z 0 a 2 a + x 0 y 0 z 0 x 0 y 0 6

Calculando o primeiro produto e simplificando...

V = 4 a 2 x 0 y 0 + 2 a x 0 2 y 0 2 z 0 + 2 a x 0 2 y 0 2 z 0 + x 0 3 y 0 3 z 0 2 a 2 2 a + x 0 y 0 z 0 x 0 y 0 6

V = 4 a 2 x 0 y 0 + 4 a x 0 2 y 0 2 z 0 + x 0 3 y 0 3 z 0 2 a 2 2 a + x 0 y 0 z 0 x 0 y 0 6

Calculando o segundo produto e simplificando

V = 4 a 3 x 0 y 0 + 8 a 2 x 0 2 y 0 2 z 0 + 2 a x 0 3 y 0 3 z 0 2 + 4 a 2 x 0 2 y 0 2 z 0 + 4 a x 0 3 y 0 3 z 0 2 + x 0 4 y 0 4 z 0 3 a 2 x 0 y 0 6

V = 4 a 3 x 0 y 0 + 12 a 2 x 0 2 y 0 2 z 0 + 6 a x 0 3 y 0 3 z 0 2 + x 0 4 y 0 4 z 0 3 a 2 x 0 y 0 6

V = 4 a 3 + 1 2 a 2 x 0 y 0 z 0 + 6 a x 0 2 y 0 2 z 0 2 + x 0 3 y 0 3 z 0 3 6 a 2

Porém, se analisarmos a equação dada inicialmente

x y z = a

Vemos que todo produto x 0 y 0 z 0 tem que ser obrigatoriamente a , ou seja

V = 4 a 3 + 12 a 2 a + 6 a a 2 + a 3   6 a 2

V = 4 a 3 + 12 a 3 + 6 a 3 + a 3   6 a 2 = 23 a 3   6 a 2

V = 23 a   6

Como chegamos em um resultado constante, então verificamos a afirmação do enunciado!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

V = 23 a   6

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