Seja f : ℝ 2 → ℝ , f com derivadas parciais contínuas em ℝ 2 e tal que 2 x + y + z = 7 é o plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 0,2 , f ( 0,2 ) ) . Seja

g ( u , v ) = u f ( s e n ( u 2 - v 3 ) , 2 u 2 v ) .

Determine a ∈ ℝ para que o plano tangente ao gráfico de g no ponto ( 1,1 , g ( 1,1 ) ) seja paralelo ao vetor ( 4,2 , a ) .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos uma função qualquer f : ℝ 2 → ℝ que tem derivadas parciais contínuas em ℝ 2 , em particular esta função tem um plano tangente dado por

2 x + y + z = 7

no ponto ( 0,2 , f ( 0,2 ) ) . Agora, se tivermos uma função da forma

g ( u , v ) = u f ( s e n ( u 2 - v 3 ) , 2 u 2 v ) .

queremos encontrar uma constante a ∈ ℝ tal que o plano tangente à g no ponto ( 1,1 , g ( 1,1 ) ) seja paralelo ao vetor ( 4,2 , a ) . O exercício não é tão direto, mas, não é tão difícil! Para uma função de duas variáveis temos que o plano tangente é dado por

π :   g u ( u 0 , v 0 ) ( u - u 0 ) + g v ( u 0 , v 0 ) ( v - v 0 ) = z - g ( u 0 , v 0 )

em que o vetor normal ao plano é identificado como

n → = [ g u ( u 0 , v 0 ) , g v ( u 0 , v 0 ) , - 1 ]

Usando então ambas as identificações acima e a regra da cadeia podemos relacionar a equação do plano de tangente a g ( u , v ) com os componentes do gradiente de f ( x , y ) . É um pouco difícil de visualizar, então vamos devagarzinho! Vem comigo!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar usar a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais em u e v , primeiro, temos que

g u ( u , v ) = ∂ ∂ u [ g ( u , v ) ] = ∂ ∂ u [ u f ( s e n ( u 2 - v 3 ) , 2 u 2 v ) ]

usando a regra de Leibniz (regra do produto), podemos expandir a derivada como

∂ ∂ u [ u f ( s e n ( u 2 - v 3 ) , 2 u 2 v ) ] = ∂ ∂ u ( u ) f ( s e n ( u 2 - v 3 ) , 2 u 2 v ) + u ∂ ∂ u ( f ( s e n ( u 2 - v 3 ) , 2 u 2 v )

Calculando a derivada que está explícita no primeiro termo e usando a regra da cadeia no segundo, temos que

f ( s e n ( u 2 - v 3 ) , 2 u 2 v ) + u ∂ f ( s e n ( u 2 - v 3 ) , 2 u 2 v ) ∂ x ∂ ∂ u [ s e n ( u 2 - v 3 ) ] + u ∂ f ( s e n ( u 2 - v 3 ) , 2 u 2 v ) ∂ y ∂ ∂ u [ 2 u 2 v ]

lembrando que v é visto como constante na derivada em relação a u , e usando a regra da cadeia novamente, temos que

f ( s e n ( u 2 - v 3 ) , 2 u 2 v ) + u ∂ f ( s e n ( u 2 - v 3 ) , 2 u 2 v ) ∂ x c o s ( u 2 - v 3 ) ( 2 u ) + u ∂ f ( s e n ( u 2 - v 3 ) , 2 u 2 v ) ∂ y 2 ( 2 u ) v

ou simplesmente

f ( s e n ( u 2 - v 3 ) , 2 u 2 v ) + 2 u 2 ∂ f ( s e n ( u 2 - v 3 ) , 2 u 2 v ) ∂ x c o s ( u 2 - v 3 ) + 4 u 2 v ∂ f ( s e n ( u 2 - v 3 ) , 2 u 2 v ) ∂ y

Não tem como calcularmos explicitamente as derivadas em x e y . Mas, é para isso que nos deram a equação do plano tangente a f no ponto ( 0,2 , f ( 0,2 ) ) , saca só!

Passo 3

Como queremos calcular o plano tangente a g no ponto ( 1,1 , g ( 1,1 ) ) , vamos substituir u = 1 ,   v = 1 na derivada que calculamos, temos que

f ( s e n ( 1 2 - 1 3 ) , 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) ) + 2 ( 1 ) 2 ∂ f ( s e n ( 1 2 - 1 3 ) , 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) ) ∂ x c o s ( 1 2 - 1 3 ) + 4 ( 1 ) 2 ( 1 ) ∂ f ( s e n ( 1 2 - 1 3 ) , 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) ) ∂ y

que se resume à

f ( 0,2 ) + 2 ∂ f ( 0,2 ) ∂ x + 4 ∂ f ( 0,2 ) ∂ y

Mas, no que isso nos ajuda? Por sorte, a função e as derivadas estão exatamente no ponto em que o plano tangente de f foi calculado! Então, podemos identificar usando a identificação do plano tangente que dei no primeiro passo, que como o plano tangente tem equação

2 x + y + z = 7

podemos identificar as derivadas parciais de f como

f x ( 0,2 ) = 2 ,   f y ( 0,2 ) = 1 ,   f ( 0,2 ) = - 7

cuidado que a definição do plano carrega um sinal negativo no termo constante, por isso que identifique a função no ponto como - 7 . E, portanto, a derivada parcial de g que queríamos é simplesmente

g u ( 1,1 ) = - 7 + 2 ( 2 ) + 4 ( 1 ) = - 1

Vamos fazer o mesmo agora para a derivada em relação a v . Vem comigo!

Passo 4

Temos que calcular

∂ ∂ v [ u f ( s e n ( u 2 - v 3 ) , 2 u 2 v ) ] = u ∂ ∂ v ( f ( s e n ( u 2 - v 3 ) , 2 u 2 v ) )

usando a regra da cadeia

u ∂ ∂ v ( f ( s e n ( u 2 - v 3 ) , 2 u 2 v ) ) = u ∂ [ f ( s e n ( u 2 - v 3 ) , 2 u 2 v ) ] ∂ x ∂ [ s e n ( u 2 - v 3 ) ] ∂ v + u ∂ [ f ( s e n ( u 2 - v 3 ) , 2 u 2 v ) ] ∂ y ∂ [ 2 u 2 v ] ∂ v

calculando as derivadas temos que

u ∂ [ f ( s e n ( u 2 - v 3 ) , 2 u 2 v ) ] ∂ x c o s ( u 2 - v 3 ) ( - 3 v 2 ) + u ∂ [ f ( s e n ( u 2 - v 3 ) , 2 u 2 v ) ] ∂ y ( 2 u 2 )

reorganizando a avaliando em ( 1,1 , g ( 1,1 ) ) , temos que

g v ( 1,1 ) = - 3 ∂ f ( 0,2 ) ∂ x + 2 ∂ [ f ( 0,2 ] ∂ y

usando os valores para as derivadas parciais que identificamos no passo anterior, temos que

g v ( 1,1 ) = - 3 ( 2 ) + 2 ( 1 ) = - 4

Ótimo! Temos quase tudo que precisamos! Vamos finalmente começar a trabalhar para encontrar a constante a .

Passo 5

Podemos escrever a equação do plano tangente a g no ponto ( 1,1 , g ( 1,1 ) ) como

π :   - ( u - 1 ) - 4 ( v - 1 ) = z - g ( 1,1 )

ou simplesmente

π :   - u - 4 v = z - g ( 1,1 ) - 5

precisamos calcular g ( 1,1 ) , usando a definição da função, temos que

g ( 1,1 ) = ( 1 ) f ( 0,2 ) = - 7

sendo assim, temos que

π :   - u - 4 v = z + 2

de forma que o vetor normal é

n → = ( - 1 , - 4 , - 1 )

Para que o vetor ( 4,2 , a ) seja paralelo ao plano, ele precisa ser perpendicular a este vetor normal! Então bora lá!

Passo 6

Para os vetores serem perpendiculares eles devem obedecer a relação

n → ⋅ ( 4,2 , a ) = 0

ou seja

( - 1 ) ( 4 ) + ( - 4 ) ( 2 ) + ( - 1 ) ( a ) = 0

de forma que obtemos a nossa constante como

a = - 12

Uff… A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

a = - 12

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