Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

PUC-RIO, Cálculo II, G4 VE1 2015.1, questão 1b

Seja f x , y , z = x 2 + 3 y 2 + z 2 - 2 x y

b) Encontre apenas um ponto x 0 , y 0 , z 0 onde o plano tangente a superfície de nível f x , y , z = 1 , neste ponto, seja paralelo ao plano x + y = 3

Passo 1

b) Vamos encontrar o plano tangente a superfície de nível:

x 2 + 3 y 2 + z 2 - 2 x y = 1

Ajeitando:

x 2 + 3 y 2 + z 2 - 2 x y - 1 = 0

F x , y , z = x 2 + 3 y 2 + z 2 - 2 x y

Calculando o gradiente:

∇ F x , y , z = 2 x - 2 y ,   6 y - 2 x , 2 z

No ponto x 0 , y 0 , z 0 :

n → = ∇ F x , y , z = 2 x 0 - 2 y 0 ,   6 y 0 - 2 x 0 , 2 z 0

Onde n → é o vetor normal ao plano tangente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A questão diz que ele deve ser paralelo ao plano x + y = 3 . Isso quer dizer que seus vetores normais são paralelos, ou seja:

2 x 0 - 2 y 0 ,   6 y 0 - 2 x 0 , 2 z 0 = λ 1,1 , 0

Pro último elemento ser zero, temos:

z 0 = 0

Das duas primeiras coordenadas temos:

2 x 0 - 2 y 0 = 6 y 0 - 2 x 0

x 0 = 2 y 0

Passo 3

Porém lembre que o ponto x 0 , y 0 , z 0 pertence a superfície de nível. Logo, ele deve satisfazer essa equação. Temos:

x 0 2 + 3 y 0 2 + z 0 2 - 2 x 0 y 0 = 1

4 y 0 2 + 3 y 0 2 + 0 2 - 4 y 0 2 = 1

y 0 = ± 3 3

Então o ponto pode ser:

2 3 3 ,   3 3 , 0

Ou

- 2 3 3 ,   - 3 3 , 0

Resposta

b) 2 3 3 ,   3 3 , 0

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