Seja f = f ( x , y ) uma função de classe 𝒞 2 e seja g : ℝ 2 → ℝ dada por

g ( u , v ) = u f ( u 2 - v , u + 2 v )

Sabendo que 3 x + 5 y = z + 26 é uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 1,4 , f ( 1,4 ) ) ,   ∂ 2 f ∂ x ∂ y ( 1,4 ) = 1 e ∂ 2 f ∂ y 2 ( 1,4 ) = - 1 , calcule ∂ 2 g ∂ u ∂ v ( - 2,3 ) .

Passo 1

Oiie, tudo bem?

O enunciado nos dá duas funções, temos que a f = f ( x , y ) é de classe 𝒞 2 e temos a função g : ℝ 2 → ℝ definida em termos de dois parâmetros e da pr��pria função f como

g ( u , v ) = u f ( u 2 - v , u + 2 v )

o enunciado também nos afirma que 3 x + 5 y = z + 26 é a equação do plano tangente a f , isso é uma vantagem, pois o vetor normal a este plano nos dá os componentes do gradiente de f no ponto ( 1,4 ) . Além disso, o enunciado nos afirma que

( 1,4 , f ( 1,4 ) ) ,   ∂ 2 f ∂ x ∂ y ( 1,4 ) = 1 e ∂ 2 f ∂ y 2 ( 1,4 ) = - 1

usando isso precisamos calcular

∂ 2 g ∂ u ∂ v ( - 2,3 )

o ponto dado nesta derivada não é arbitrário, você verá quando aplicarmos o ponto ( 1,4 ) que esta coordenada irá aparecer naturalmente! Mas, antes de tudo precisamos usar a regra da cadeia para calcular a primeira e segunda derivada de g ( u , v ) , bora lá!

Passo 2

Calculando primeiro a derivada em v , temos que

∂ g ( u , v ) ∂ v = ∂ ∂ v [ u f ( u 2 - v , u + 2 v ) ]

aplicando a regra da cadeia, temos que

∂ g ( u , v ) ∂ v = u ∂ f ∂ x [ x ( u , v ) , y ( u , v ) ] ∂ ∂ v [ u 2 - v ] + u ∂ f ∂ y [ x ( u , v ) , y ( u , v ) ] ∂ ∂ v [ u + 2 v ]

em que

x ( u , v ) = u 2 - v e y ( u , v ) = u + 2 v

calculando as derivadas que restaram, temos que

∂ g ( u , v ) ∂ v = - u ∂ f ∂ x [ x ( u , v ) , y ( u , v ) ] + 2 u ∂ f ∂ y [ x ( u , v ) , y ( u , v ) ]

Agora, vamos calcular a segunda derivada, ou seja, a derivada em relação a u !

Passo 3

Temos que calcular

∂ 2 g ( u , v ) ∂ u ∂ v = ∂ ∂ u { - u ∂ f ∂ x [ x ( u , v ) , y ( u , v ) ] } + ∂ ∂ u { 2 u ∂ f ∂ y [ x ( u , v ) , y ( u , v ) ] }

usando a regra do produto, temos que

∂ 2 g ( u , v ) ∂ u ∂ v = ∂ ∂ u { - u } - u ∂ ∂ u { ∂ f ∂ x [ x ( u , v ) , y ( u , v ) ] } + ∂ ∂ u { 2 u } + 2 u ∂ ∂ u { ∂ f ∂ y [ x ( u , v ) , y ( u , v ) ] }

agora, usando a regra da cadeia

∂ 2 g ( u , v ) ∂ u ∂ v = - 1 - u ∂ 2 f [ x ( u , v ) , y ( u , v ) ] ∂ x 2 ∂ [ u 2 - v ] ∂ u - u ∂ 2 f [ x ( u , v ) , y ( u , v ) ] ∂ y ∂ x ∂ [ u + 2 v ] ∂ u + 2 + 2 u ∂ 2 f [ x ( u , v ) , y ( u , v ) ] ∂ x ∂ y ∂ [ u 2 - v ] ∂ u + 2 u ∂ 2 f [ x ( u , v ) , y ( u , v ) ] ∂ y 2 ∂ [ u + 2 v ] ∂ u

ou simplesmente

∂ 2 g ( u , v ) ∂ u ∂ v = 1 - 2 u 2 ∂ 2 f [ x ( u , v ) , y ( u , v ) ] ∂ x 2 - u ∂ 2 f [ x ( u , v ) , y ( u , v ) ] ∂ y ∂ x + 4 u 2 ∂ 2 f [ x ( u , v ) , y ( u , v ) ] ∂ x ∂ y + 2 u ∂ 2 f [ x ( u , v ) , y ( u , v ) ] ∂ y 2

Ótimo! Agora temos que achar essas derivadas que faltam! Bora lá!

Passo 4

Por uma bondade temos que no ponto ( 1,4 ) , temos que

u 2 - v = 1 e u + 2 v = 4

podemos resolver para ambas as variáveis, de forma que

v = 2 - u / 2

e, temos

u 2 + u / 2 - 3 = 0

aplicando Bhaskara temos que

u ± = - 1 / 2 ± 1 / 4 - ( 4 ) ( 1 ) ( - 3 ) 2 = - 1 / 2 ± 7 / 2 2

de forma que temos

u + = 3 4 e u - = - 8 4 = - 2

usando a segunda possibilidade, temos que

v = 2 + 1 = 3

e, portanto, podemos garantir que no ponto ( 1,4 ) , temos g ( - 2,3 ) , grande vantagem, pois então podemos escrever

∂ 2 g ( - 2,3 ) ∂ u ∂ v = 1 - 2 ( - 2 ) 2 ∂ 2 f [ 1,4 ] ∂ x 2 - ( - 2 ) ∂ 2 f [ 1,4 ] ∂ y ∂ x + 4 ( - 2 ) 2 ∂ 2 f [ 1,4 ] ∂ x ∂ y + 2 ( - 2 ) ∂ 2 f [ 1,4 ] ∂ y 2

simplificando

∂ 2 g ( - 2,3 ) ∂ u ∂ v = 1 - 8 ∂ 2 f [ 1,4 ] ∂ x 2 + 4 ∂ 2 f [ 1,4 ] ∂ y ∂ x + 16 ∂ 2 f [ 1,4 ] ∂ x ∂ y - 4 ∂ 2 f [ 1,4 ] ∂ y 2

usando os resultados dados no enunciado, temos que

∂ 2 g ( - 2,3 ) ∂ u ∂ v = 1 - 8 ( 1 ) + 4 ( 1 ) + 16 ( 1 ) - 4 ( - 1 ) = 17

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∂ 2 g ( - 2,3 ) ∂ u ∂ v = 17

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