Seja f :   R 2 → R uma função diferenciável satisfazendo

f 2 t 3 ,   t 2 = 1 + e t 2 - 1 ,             p a r a   t o d o   t ∈ R

Sabendo que ∂ f ∂ x 2 ,   1 = 1 , uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 2 ,   1 ,   f 2 ,   1 é:

a) x - 2 y - z + 2 = 0 .

b) x + 2 y - z - 2 = 0 .

c) x - y - z + 1 = 0 .

d) x + y - z - 1 = 0 .

e) x - z = 0 .

Passo 1

Fala pessoal, vamos resolver mais uma questão de prova! Essa aqui é sobre regra da cadeia e plano tangente!

O problema fornece uma função diferenciável de duas variáveis com a propriedade

f 2 t 3 ,   t 2 = 1 + e t 2 - 1

Essa relação é válida para todo t real. Além disso, o problema fornece que

∂ f ∂ x 2 ,   1 = 1

Queremos saber qual a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 2 ,   1 ,   f 2 ,   1 . O primeiro passo então é determinar f 2 ,   1 .

Note que fazendo t = 1 na relação fornecida, obtemos

f 2 ,   1 = 1 + e 1 2 - 1 = 1 + e 0 = 1 + 1 = 2

Assim, já achamos que

f 2 ,   1 = 2

Passo 2

A equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto ( a ,   b ) é

z = f a ,   b + ∂ f ∂ x a ,   b   x - a + ∂ f ∂ y a ,   b   ( y - b )

Assim, temos que descobrir

∂ f ∂ y 2 ,   1 =   ?

Para fazer isso, vamos aplicar a regra da cadeia na relação

f 2 t 3 ,   t 2 = 1 + e t 2 - 1

Derivando em ambos os lados com relação a t :

d d t f 2 t 3 ,   t 2 = 0 + e t 2 - 1 ⋅ t 2 - 1 ' = 2 t   e t 2 - 1

Do lado esquerdo, vamos chamar x = 2 t 3 e y = t 2 :

d d t f 2 t 3 ,   t 2 = ∂ f ∂ x 2 t 3 ,   t 2 ⋅ d x d t + ∂ f ∂ y 2 t 3 ,   t 2 ⋅ d y d t

Sabemos que

d x d t = 6 t 2                 e             d y d t = 2 t

Portanto,

d d t f 2 t 3 ,   t 2 = 6 t 2   ∂ f ∂ x 2 t 3 ,   t 2 + 2 t   ∂ f ∂ y 2 t 3 ,   t 2

Assim, temos a relação

6 t 2   ∂ f ∂ x 2 t 3 ,   t 2 + 2 t   ∂ f ∂ y 2 t 3 ,   t 2 = 2 t   e t 2 - 1

Fazendo t = 1 nela:

6 ∂ f ∂ x 2 ,   1 + 2 ∂ f ∂ y 2 ,   1 = 2

Como ∂ f ∂ x 2 ,   1 = 1 :

6 ⋅ 1 + 2 ⋅ ∂ f ∂ y 2,1 = 2 ⇒ 2 ∂ f ∂ y 2,1 = - 4 ⇒ ∂ f ∂ y 2,1 = - 2

Passo 3

Agora que já temos as derivadas parciais, podemos substituir na equação do plano:

z = f 2 ,   1 + ∂ f ∂ x 2 ,   1   x - 2 + ∂ f ∂ y 2 ,   1   ( y - 1 )

Assim,

z = 2 + 1 ⋅ x - 2 - 2 ⋅ ( y - 1 )

Logo,

z = 2 + x - 2 - 2 y + 2

Desta forma, a equação do plano é

x - 2 y - z + 2 = 0

A resposta está na alternativa A 😊

Resposta

Alternativa A.

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