Seja f : R2 −→ R uma função qualquer. Decida se cada uma das cinco afirmações abaixo é verdadeira ou falsa.

  1. Se f x , y ≤ x 2 + y 2 para todo x , y ∈ R 2 , então f é diferenciavel em ( 0,0 ) .

Passo 1

Para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa, podemos aplicar o Teorema de Diferenciabilidade de Clairaut. O teorema de Clairaut afirma que, se uma função f: R² → R é contínua em um ponto (a, b) e todas as suas derivadas parciais existem e são contínuas em uma vizinhança de (a, b), então a função é diferenciável em (a, b).

No nosso caso, queremos verificar se a função f(x, y) é diferenciável em (0, 0), dado que f x ,   y ≤   x 2 +   y 2 para todo x ,   y ∈   R 2 . Portanto, vamos verificar a continuidade das derivadas parciais de f em 0 ,   0 .

Primeiro, vejamos as derivadas parciais de f:

1. ∂ f ∂ x (derivada parcial em relação a x)

2. ∂ f ∂ y (derivada parcial em relação a y)

Agora, vamos verificar a continuidade dessas derivadas parciais em (0, 0). Para isso, usaremos a definição de continuidade:

Uma função é contínua em um ponto (a, b) se, dado ε > 0, existir δ > 0 tal que, para todos os pontos (x, y) que satisfaçam 0   <   x 2 +   y 2 <   δ (ou seja, estejam dentro de uma vizinhança de (0, 0) com raio δ), temos f x ,   y –   f 0 ,   0 <   ε .

Passo 2

Agora, vejamos se as derivadas parciais são contínuas em (0, 0):

  1. ∂ f ∂ x :

Podemos escrever a desigualdade dada como f x ,   y –   0 ≤   x 2 +   y 2 . Como f(0, 0) = 0, isso nos dá f x ,   y ≤   x 2 +   y 2 . Isso significa que f x ,   y é limitada por x 2 +   y 2 e, portanto, podemos aplicar o teorema do limite para a derivada parcial ∂ f ∂ x :

lim ⁡ x ,   y → 0 ,   0 ∂ f ∂ x = lim ⁡ x ,   y → 0 ,   0 f x ,   y –   f 0 ,   0 x

Como   | f ( x ,   y ) |   ≤   x ²   +   y ² , podemos afirmar que | ∂ f / ∂ x |   ≤   x 2 +   y 2 . Agora, aplicando o teorema do limite:

    lim ⁡ x ,   y →   0 ,   0 ∂ f ∂ x ≤ lim ⁡ x ,   y →   0 ,   0 x 2 +   y 2 =   0

Isso significa que a derivada parcial ∂ f ∂ x é contínua em (0, 0).

2. ∂ f ∂ y :

Da mesma forma, podemos usar a desigualdade dada para mostrar que ∂ f ∂ y ≤   x 2 +   y 2 . Aplicando o teorema do limite novamente, obtemos:

    lim ⁡ x ,   y →   0 ,   0 ∂ f ∂ y ≤ lim ⁡ x ,   y →   0 ,   0 x 2 +   y 2 =   0

Isso significa que a derivada parcial ∂ f ∂ y é contínua em (0, 0).

Como ambas as derivadas parciais ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y são contínuas em (0, 0), podemos aplicar o Teorema de Diferenciabilidade de Clairaut. Portanto, a afirmação é verdadeira: se f x ,   y ≤   x 2 +   y 2 para todo (x, y) ∈ R², então f é diferenciável em (0, 0).

Resposta

Verdade

Exercícios de Livros Relacionados

Desenhe a superfície e o plano tangente no ponto dado. (Escolha o domínio e o ponto de vista de modo a ver tanto a superfície quanto o plano tangente.) Em seguida, dê zoom até que a superfície e o pla
Desenhe o gráfico de f e de seu plano tangente no ponto dado. (Utilize um sistema de computação algébrica tanto para calcular as derivadas parciais quanto para traçar os gráficos da função e de seu pl
Em qual ponto do paraboloide y = x 2 + z 2 o plano tangente é paralelo ao plano x + 2 y + 3 z = 1 ?
Existem pontos no hiperboloide x 2 - y 2 - z 2 = 1 nos quais o plano tangente é paralelo ao plano z = x + y ?