Seja f : R2 −→ R uma função qualquer. Decida se cada uma das cinco afirmações abaixo é verdadeira ou falsa.

e. f pode ser de classe C 2 e satisfazer ∂ f ( x , y ) ∂ x = x 2 + y sin ⁡ x e ∂ f ( x , y ) ∂ y = x y 2 , para todo x , y ∈ R 2 .

Passo 1

A afirmação e é falsa. Para que uma função seja de classe ( C 2 ) , as suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem devem ser contínuas. No entanto, as derivadas parciais especificadas na afirmação não satisfazem essa condição.

Passo 2

As derivadas parciais dadas são:

( ∂ f x , y ∂ x = x 2 + y sin ⁡ x )

( ∂ f x , y ∂ y = x y 2 )

A primeira derivada parcial em relação a ( x ) inclui o termo ( y sin ⁡ x ) , que não é uma função contínua em ( R 2 ) (pois o ( sin ⁡ x ) oscila periodicamente). Portanto, a função ( f x , y ) não é de classe ( C 1 ) , o que significa que ela não pode ser de classe ( C 2 ) também.

Portanto, a afirmação e é falsa.

Resposta

Falsa

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