Seja f : R2 −→ R uma função qualquer. Decida se cada uma das cinco afirmações abaixo é verdadeira ou falsa.

d. Se as funções ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y são de classe C 1 em R 2 , então ∂ f ∂ x ∂ y x , y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( x , y ) para todo x , y ∈ R 2 .

Passo 1

A afirmação d é verdadeira. Ela está relacionada ao fato de que, quando as derivadas parciais de primeira ordem ( ∂ f ∂ x ) e ( ∂ f ∂ y ) são de classe ( C 1 ) (ou seja, contínuas e possuem derivadas parciais contínuas), as derivadas parciais mistas ( ∂ 2 f ∂ x ∂ y ) e ( ∂ 2 f ∂ y ∂ x ) são iguais, e isso é conhecido como o Teorema de Schwarz (ou Teorema das Derivadas Cruzadas).

Passo 2

Portanto, para todo ( x , y ∈ R 2 ) , temos:

( ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x x , y )

Assim, a afirmação d é verdadeira, desde que ( ∂ f ∂ x ) e ( ∂ f ∂ y ) sejam de classe ( C 1 ) em ( R 2 ) .

Resposta

Verdadeiro.

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