USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 3 - Derivadas Parciais, Diferenciabilidade e Plano Tangente, Questão 1.19d
Seja f : R2 −→ R uma função qualquer. Decida se cada uma das cinco afirmações abaixo é verdadeira ou falsa.
d. Se as funções e são de classe em , então para todo
Passo 1
A afirmação d é verdadeira. Ela está relacionada ao fato de que, quando as derivadas parciais de primeira ordem e são de classe (ou seja, contínuas e possuem derivadas parciais contínuas), as derivadas parciais mistas e são iguais, e isso é conhecido como o Teorema de Schwarz (ou Teorema das Derivadas Cruzadas).
Passo 2
Portanto, para todo , temos:
Assim, a afirmação d é verdadeira, desde que e sejam de classe em .
Resposta
Verdadeiro.
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