Sejam f   : R → R derivável e F   : F 2 → R dada por F x , y = x f ( y ) para todo x , y ∈ R 2 . Considerando apenas as informações apresentadas, quais das afirmações abaixo são verdadeiras?

c) As condições para que o plano z = x + y seja o plano tangente ao gráfico de F em ( x 0 , y 0 ) são: y 0 = 0 ,   f 0 = 1 e x 0 f ' 0 = 1 .

Passo 1

Para verificar se a afirmação (c) é verdadeira, precisamos determinar as condições necessárias para que o plano ( z   =   x   +   y ) seja o plano tangente ao gráfico de ( F ) no ponto ( x 0 ,   y 0 ) .

Primeiro, vamos encontrar o gradiente de ( F x , y ) :

( ∇ F x , y = ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y = f y , x ⋅ f ' y )

Agora, vamos encontrar o plano tangente em um ponto genérico ( x 0 , y 0 ) :

1. O vetor normal ao plano tangente é dado pelo gradiente de ( F ) neste ponto:

( N = f y 0 , x 0 ⋅ f ' y 0 )

2. A equação do plano tangente é:

( N ⋅ x - x 0 , y - y 0 , F x , y - F x 0 , y 0 = 0 )

Substituindo os valores conhecidos:

( f y 0 x - x 0 + x 0 ⋅ f ' y 0 y - y 0 - x f y - x 0 f y 0 = 0 )

Simplificando:

( f y 0 x - x 0 + x 0 ⋅ f ' y 0 y - y 0 - x f y + x 0 f y 0 = 0 )

Agora, observe que a equação do plano ( z   =   x   +   y ) é equivalente a:

( x   +   y   -   z   =   0 )

Passo 2

Comparando as duas equações, temos:

( x 0 + y 0 - z = 0 )

Isso significa que para que o plano ( z   =   x   +   y ) seja o plano tangente ao gráfico de ( F ) em ( x 0 , y 0 ) , precisamos que ( x 0 + y 0 = z )

.

A afirmação (c) menciona três condições:

1. ( y 0 = 0 ) : Isso significa que o ponto ( x 0 , y 0 ) está no plano ( x y ) .

2. ( f y 0 = 1 ) : Isso implica que ( f 0 = 1 ) , ou seja, o valor da função ( f ) em ( y 0 ) é igual a 1.

3. ( x 0 ⋅ f ' 0 = 1 ) : Isso significa que o produto entre ( x 0 ) e a derivada de ( f ) em ( y   =   0 ) é igual a 1.

Essas condições são consistentes com a equação do plano ( z   =   x   +   y ) , que requer apenas ( x 0 + y 0 = z ) .

Portanto, a afirmação (c) é verdadeira, desde que as três condições mencionadas sejam atendidas.

Resposta

Portanto, a afirmação (c) é verdadeira, desde que as três condições mencionadas sejam atendidas.

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