Sejam f   : R → R derivável e F   : F 2 → R dada por F x , y = x f ( y ) para todo x , y ∈ R 2 . Considerando apenas as informações apresentadas, quais das afirmações abaixo são verdadeiras?

  1. O eixo O y está contido em todos os planos tangentes ao gráfico de F em pontos de forma ( 0 ,   y 0 ,   F 0 , y 0 ) .

Passo 1

Olá meu amigo, Yuri aqui e agora é hora de pegarmos algumas questões teóricas para fazer. Eu sei, você não gosta de questões teóricas, mas até o final da resolução irá perceber o qual importantes elas são.

Para verificar se a afirmação (a) é verdadeira, precisamos considerar o gradiente de F(x, y) e o plano tangente ao gráfico de F no ponto ( 0 ,   y 0 ,   F ( 0 ,   y 0 ) ) .

Passo 2

O gradiente de F(x, y) é dado por:

∇ F x ,   y =   ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y =   f y ,   x   *   f ' y

Agora, vamos encontrar o plano tangente ao gráfico de F em um ponto genérico ( 0 ,   y 0 ,   F ( 0 ,   y 0 ) ) .

O vetor normal ao plano tangente é dado pelo gradiente de F neste ponto:

N   =   ∇ F 0 ,   y 0 ,   - 1 =   f y 0 ,   0 ,   - 1

Agora, podemos escrever a equação do plano tangente:

N   ·   x   -   0 ,   y   -   y 0 ,   F x ,   y -   F 0 ,   y 0 =   0

Substituindo os valores conhecidos:

f y 0 ,   0 ,   - 1 ·   x ,   y   -   y 0 ,   F x ,   y -   F 0 ,   y 0 =   0

f y 0 x +   0 y   -   y 0 -   F x ,   y -   F 0 ,   y 0 =   0

Passo 3

Simplificando

f y 0 x   -   F x ,   y -   F 0 ,   y 0 =   0

Agora, vamos verificar se o eixo Oy (x = 0) está contido neste plano tangente. Substituindo x = 0 na equação do plano:

f y 0 0 -   F 0 ,   y -   F 0 ,   y 0 =   0

F 0 ,   y -   F 0 ,   y 0 =   0

F 0 ,   y -   F 0 ,   y 0 =   0

Aqui, F ( 0 ,   y 0 ) é uma constante (não depende de y) e F(0, y) depende apenas de y. Portanto, a equação acima é verdadeira para qualquer valor de y.

Isso significa que o eixo Oy está contido em todos os planos tangentes ao gráfico de F em pontos da forma ( 0 ,   y 0 ,   F ( 0 ,   y 0 ) ) . Portanto, a afirmação (a) é verdadeira.

Resposta

V

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