Sejam f   : R → R derivável e F   : F 2 → R dada por F x , y = x f ( y ) para todo x , y ∈ R 2 . Considerando apenas as informações apresentadas, quais das afirmações abaixo são verdadeiras?

d) O plano tangente ao gráfico de F nunca será paralelo ao plano z = 0.

Passo 1

Para verificar se a afirmação (d) é verdadeira, precisamos determinar se o plano tangente ao gráfico de F pode ser paralelo ao plano z = 0 (ou seja, ao plano xy).

O plano tangente ao gráfico de F no ponto (x0, y0) é dado pelo vetor normal ao plano tangente, que é determinado pelo gradiente de F(x, y) neste ponto. O gradiente de F(x, y) foi calculado anteriormente como:

∇ F x ,   y =   f y ,   x   *   f ' y

Agora, vamos considerar um ponto genérico (x0, y0) no plano xy (z = 0). Nesse caso, z0 = 0. Queremos determinar se o vetor normal ao plano tangente, que é   f y 0 ,   x 0   *   f ' y 0 , pode ser paralelo ao plano xy (z = 0).

Passo 2

Para que dois vetores sejam paralelos, eles devem ser proporcionais um ao outro. Portanto, o vetor f y 0 ,   x 0   *   f ' y 0 é paralelo ao plano xy (z = 0) se e somente se:

f y 0 x 0 *   f ' y 0 =   c o n s t a n t e

Isso implica que:

f y 0 f ' y 0 = c o n s t a n t e x 0

Aqui, a constante / x0 é uma constante dividida por x0 e, portanto, pode ser uma constante qualquer (não depende de ( x 0 ,   y 0 ) ) .

No entanto, a relação f y 0 f ' y 0 não é constante para a função f, a menos que f seja uma função exponencial (como a função f x =   e x ) . Portanto, em geral, a relação entre f(y0) e f'(y0) não é constante.

Portanto, podemos concluir que o plano tangente ao gráfico de F não será paralelo ao plano z = 0, a menos que a função f seja uma função exponencial. Portanto, a afirmação (d) é verdadeira apenas sob certas condições específicas para a função f.

Resposta

F

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