Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Sobre o plano tangente ao gráfico de

f x , y = x + cos ⁡ y x 2

No ponto ( 1,0 , 2 ) é correto afirmar que:

  1. É perpendicular ao plano x y
  2. Contém o ponto ( 1,3 , 2 )
  3. Contém a reta x = 2 do plano x y
  4. É perpendicular ao vetor ( 5,0 , 1 )
  5. É perpendicular ao vetor ( 12,0 , - 2 )

Passo 1

Vamos encontrar o tal do plano tangente?

Começamos substituindo f ( x , y ) por z na equação:

z = x + cos ⁡ y x 2

E depois, jogando tudo pra um lado só e chamando de F ( x , y , z ) :

F x , y , z = x + cos ⁡ y x 2 - z

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Passo 2

Agora vamos calcular o gradiente de F ( x , y , z ) :

∇ F = x 2 + 2 x x + cos ⁡ y , - x 2 sen ⁡ y , - 1

Substituindo no ponto ( 1,0 , 2 ) :

∇ F ( 1,0 , 2 ) = 1 2 + 2.1 1 + cos ⁡ 0 , - 1 2 sen ⁡ 0 , - 1

∇ F ( 1,0 , 2 ) = 5,0 , - 1

Passo 3

O plano tangente é:

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ ∇ F ( P 0 ) = 0

x - 1 , y - 0 , z - 2 ⋅ 5,0 , - 1 = 0

5 x - 5 - z + 2 = 0

5 x - z = 3

Passo 4

Beleza, agora vamos analisar as opções.

Se ele fosse perpendicular ao plano x y , a gente precisaria que as componentes x e y do vetor normal ao plano, que é o vetor ∇ F ( 1,0 , 2 ) = 5,0 , - 1

Fossem nulas. O que não é verdade. Logo, a gente já corta a letra a .

A letra d e a letra e também já dá pra gente eliminar, porque já sabemos que o vetor normal é esse aí de cima e ele não é múltiplo de nenhum desses dois que estão nas opções, logo, a gente corta elas.

Passo 5

Só nos resta testar a letra b e a letra c .

Vamos lá, para o plano conter alguma coisa, significa que essa alguma coisa deve satisfazer a equação do plano.

Então quando a gente substituir o ponto e reta uma delas vai ter que satisfazer a equação do plano pra gente achar a resposta da questão.

Vamos começar testando o ponto.

Substituindo 1,3 , 2 na equação do plano, temos:

5 x - z = 3

5.1 - 2 = 3

3 = 3

UHUUL, satisfez!

Essa é a resposta da nossa questão então, nem precisa testar a outra!

Resposta

Letra b

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