Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

UFRJ- Física 3 – P1 2018.1 - DIURNO - 8

Um anel circular fino de raio R está uniformemente carregado com uma densidade linear de carga λ > 0 . Uma barra fina, de comprimento igual ao raio do anel e uniformemente carregada com a mesma densidade λ é posicionada inicialmente ao longo do eixo Z , que é perpendicular ao plano do anel e passa por seu centro, como mostrado na Figura à esquerda abaixo. A barra é posicionada de forma que uma de suas extremidades coincida com o centro do anel, como indicado na figura.

  1. Determine o potencial eletrostático produzido apenas pelo anel em um ponto P sobre o eixo Z , localizado a uma distância z do centro do anel. Considere que o potencial é nulo no infinito.
  2. Determine o campo eletrostático (módulo, direção e sentido) produzido apenas pelo anel no mesmo ponto P .
  3. Determine a energia potencial eletrostática associada à interação entre o anel e a barra. Considere que a energia é nula quando o anel e a barra estão infinitamente afastados um do outro. Sugestão: Divida a barra em elementos de carga infinitesimais e considere a contribuição da interação entre este elemento e o anel para a energia total.
  4. Determine o trabalho realizado pela força eletrostática ao fazermos a barra atravessar completamente o anel, colocando-a em uma nova configuração onde sua extremidade oposta coincide com o centro do anel, como mostrado na figura abaixo. Justifique sua resposta.

Formulário:

U = ∫ d x a 2 + x 2 = ln ⁡ x + a 2 + x 2 +   c o n s t a n t e

Passo 1

a) Para calcular o potencial produzido pelo anel em um ponto P à distância z do centro do anel, considere a Figura abaixo.

O elemento de carga d q = λ d l está a uma distância fixa R 2 + z 2 do ponto P . Portanto, como d l = R d θ , o potencial d V produzido em P será

d V = 1 4 π ε 0 d q R 2 + z 2 = 1 4 π ε 0 λ R d θ R 2 + z 2   .

Como tanto λ quanto R 2 + z 2 são independentes do ângulo θ , podemos integrar da seguinte maneira

V z = 1 4 π ε 0 λ R   R 2 + z 2 ∫ 0 2 π d θ ⇒ V z = λ 2 ε 0 R R 2 + z 2   .

Repara nessa equação que se a gente troca z por – z , temos

V - z = V z = λ 2 ε 0 R R 2 + z 2     .

Vamos usar esse resultado daqui a pouco.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Para analisar o campo elétrico, dá uma olhada na Figura abaixo. Nela, mostramos um elemento de carga d q e na outra ponta da reta tracejada ao longo do diâmetro outra carga idêntica d q . Eles são idênticos porque o enunciado diz que a distribuição linear é uniforme.

Identificamos também o campo elétrico   d E → que cada uma produz.No caso, esse campos têm o mesmo módulo | d E → | . Por isso, as suas componentes paralelas à reta tracejada ligando as cargas d q se cancelam, sobrando apenas uma componente ao longo do eixo de simetria do anel, que está em Z .

A gente pode fazer o mesmo para todos os outros pares de cargas d q e chegaremos à conclusão de que o campo total produzido pelo anel no ponto P está ao longo do eixo Z .

Sabendo disso, poderíamos encontrar esse campo elétrico total por integração. Mas não precisamos fazer isso, já que temos o potencial V ( z ) calculado no item anterior e porque sabemos também da seguinte relação:

E → = - d V d z z ^   .

Então, basta derivarmos o potencial com relação à variável z para encontrarmos E → .

V z = λ 2 ε 0 R R 2 + z 2

Então a derivada fica

d V d z = λ R 2 ε 0 d d z R 2 + z 2 - 1 / 2

Pela regra da cadeia:

d V d z = λ R 2 ε 0 - 1 2 R 2 + z 2 - 3 / 2 ( 2 z )

d V d z = - λ R z 2 ε 0 R 2 + z 2 3 / 2

E o campo fica

E → = - d V d z z ^ = λ R z 2 ε 0 R 2 + z 2 3 / 2 z ^

Fazendo isso, chegamos a:

E → = E →     z ^ = λ R 2 ε 0 z R 2 + z 2 3 / 2 z ^     .

Passo 3

c) Como a questão sugere, vamos tomar a energia associada a uma carga d q = λ d z da barra na presença de um potencial V ( z ) criado pela distribuição de cargas do anel. Isso vai nos dar o seguinte

d U = d q V z = λ d z V z .

Substituindo o potencial que a gente tem do item a) e integrando, chegamos a

U = λ 2 R 2 ε 0 ∫ 0 R d z R 2 + z 2 = λ 2 R 2 ε 0 ln ⁡ R + R 2 + R 2 - ln ⁡ R   ,

em que usamos a integral dada no formulário da prova.

Simplificando um pouco mais, temos

U = U i n i c i a l = λ 2 R 2 ε 0 ln ⁡ 2 + 1   R R ⇒ U i n i c i a l = λ 2 R 2 ε 0 ln ⁡ 2 + 1     ,

que é a energia associada ao sistema quando a barra está à direita do anel carregado.

Repara que a energia associada à barra quando ela está na posição à esquerda do centro do anel carregado é igual, pois V - z = V ( z ) , ou seja, poderíamos repetir toda a conta acima para a barra à esquerda e obteríamos que

U f i n a l = U i n i c i a l = λ 2 R 2 ε 0 ln ⁡ 2 + 1     .

Passo 4

d) Como o trabalho é W = - ( U f i n a l - U i n i c i a l ) , então o trabalho realizado para colocar a barra na segunda posição à esquerda do anela é

W = 0   .

Resposta

  1. V - z = V z = λ 2 ε 0 R R 2 + z 2     ;
  2. E → = E →   z ^ = λ R 2 ε 0 z R 2 + z 2 3 z ^     ;
  3. U f i n a l = U i n i c i a l = λ 2 R 2 ε 0 ln ⁡ 2 + 1     .

  4. W = 0   .

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