Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Potencial Elétrico

a ) Um fio de comprimento 2 L está carregado uniformemente com a densidade linear de carga λ . Determine uma expressão para o potencial elétrico em um ponto arbitrário do eixo y , conforme mostra a Figura 1 .

b ) Adapte a solução do item a para determinar o potencial elétrico devido a um fio quadrado de lado 2 L , carregado uniformemente com a densidade linear de carga λ , em um ponto de observação arbitrário do eixo z , conforme mostra a Figura 2 .

Sugestão: calcule a distância entre o ponto de observação e o ponto médio de um dos lados do quadrado.

c ) Determine o vetor campo elétrico devido ao fio quadrado no mesmo ponto de observação.

Passo 1

a )

Bom, para resolver esse item, temos que aplicar a fórmula, pegamos o potencial de um ponto de carga d q e comprimento d z e achamos seu potencial num ponto arbitrário P no eixo y

d V = k d q r

E vamos integrar em toda a barra para achar o potencial para o ponto arbitrário de y :

V r = k ∫ - L L d q r

Agora vamos brincar com essas variáveis para conseguir fazer a integral. O d q trocamos por um diferencial de espaço usando a equação da densidade:

λ = d q d z → d q = λ d z

O r nós expressamos em termos das outras paradas usando o Pitágoras mesmo, se liga no triangulo desenhado na figura:

r = y 2 + z 2

Partiu então:

V r = k ∫ z = - L z = L λ d z y 2 + z 2

O resultado da integral é:

V r = k . λ . ln ⁡ y 2 + L 2 + L y 2 + L 2 - L

V ( r ) = λ 4 . π . ϵ 0 . ln ⁡ y 2 + L 2 + L y 2 + L 2 - L

Calma, esse resultado não saiu do bolso, essa integral é dada na capa da prova...Valeu, Cremona!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Para determinar o potencial em um ponto arbitrário do eixo z , adaptando do que achamos no item a , faremos algumas analogias, vamos começar pensando em apenas um dos lados do quadrado.

Ao invés de y , como no item a , a distância entre o meio da barra e o ponto arbitrário no eixo z será:

r = z 2 + L 2

É isso que temos que substituir no lugar de y na equação do potencial que achamos no item a !

V ( r ) = λ 4 . π . ϵ 0 . ln ⁡ y 2 + L 2 + L y 2 + L 2 - L

Substituindo, fica:

V r = λ 4 . π . ϵ 0 . ln ⁡ ( z 2 + L 2 ) + L 2 + L ( z 2 + L 2 ) + L 2 - L

V r = λ 4 . π . ϵ 0 . ln ⁡ z 2 + 2 . L 2 + L z 2 + 2 . L 2 - L

Agora sabemos o potencial gerado por um dos lados do quadrado, portanto, para os quatro, temos:

V r = 4 . λ 4 . π . ϵ 0 . ln ⁡ z 2 + 2 . L 2 + L z 2 + 2 . L 2 - L

V r = λ π . ϵ 0 . ln ⁡ z 2 + 2 . L 2 + L z 2 + 2 . L 2 - L

Passo 3

c )

Como já sabemos o potencial, para determinar o módulo campo elétrico, devemos usar a seguinte fórmula:

E → = - ∇ V

E = - ∂ V ∂ z

E = - ∂ ∂ z λ π . ϵ 0 . ln ⁡ z 2 + 2 . L 2 + L z 2 + 2 . L 2 - L

Vamos derivar essa bagaça! Sem as constante antes, temos que a derivada do l n dá:

z 2 + 2 . L 2 - L z 2 + 2 . L 2 + L . 1 2 . z 2 + 2 . L 2 - 1 2 . 2 . z z 2 + 2 . L 2 - L - 1 2 . z 2 + 2 . L 2 - 1 2 . 2 . z z 2 + 2 . L 2 + L z 2 + 2 . L 2 - L 2  

Simplificando:

1 z 2 + 2 . L 2 + L . z 2 + 2 . L 2 - 1 2 . z z 2 + 2 . L 2 - L - z 2 + 2 . L 2 - 1 2 . z   z 2 + 2 . L 2 + L z 2 + 2 . L 2 - L  

z 2 + 2 . L 2 - 1 2 . z z 2 + 2 . L 2 + L . 1 - z 2 + 2 . L 2 + L z 2 + 2 . L 2 - L

- 2 . z . L z 2 + 2 . L 2 . 1 z 2 + L 2

Até que ficou bonitinho...plugando as constantes, temos que o campo é:

E r = - λ π . ϵ 0 . - 2 . z . L z 2 + 2 . L 2 . 1 z 2 + L 2

E r = 2 . λ . L π . ϵ 0 . z z 2 + 2 . L 2 . 1 z 2 + L 2

Resposta

a )   V ( r ) = λ 4 . π . ϵ 0 . ln ⁡ y 2 + L 2 + L y 2 + L 2 - L

b )   V r = λ π . ϵ 0 . ln ⁡ z 2 + 2 . L 2 + L z 2 + 2 . L 2 - L

c )   E r = 2 . λ . L π . ϵ 0 . z z 2 + 2 . L 2 . 1 z 2 + L 2

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