Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

USP-P1-2013-2.

Uma camada semiesférica isolante de raio interno a e externo b tem uma densidade volumétrica de carga que decresce com o inverso da distância r ao centro O segundo ρ r = A / r .

Dados A ,   a , b ,   q e m .

  1. Determine a carga total da camada semiesférica.
  2. Determine o potencial elétrico no ponto O da cama semiesférica. Adote potencial nulo no infinito.
  3. Se uma carga pontual q com o mesmo sinal da constante A da densidade volumétrica de carga é solta no centro O , qual é a velocidade final v f → que ela atinge?

Passo 1

  1. Determine a carga total da camada semiesférica.
  2. Beleza! O problema já nos dá a densidade volumétrica de carga

    ρ r = A r

    Por definição, a densidade volumétrica de carga é cada por:

    ρ = d q d V

    Portanto, a carga total é dada por:

    d q = ρ d V

    d q = A r d V

    Q = ∫ d q = A ∫ d V r

    O elemento de volume d V é dado por

    d V = A e s f d r

    Onde A e s f é a área da semiesfera.

    A e s f = 2 π r 2

    d V = 2 π r 2 d r

    Lembrando que o raio r varia entre a e b . Logo:

    Q = 2 π A ∫ a b r 2 r   d r

    Q = 2 π A ∫ a b r   d r = 2 π A r 2 2 a b

    Por fim:

    Q = π A b 2 - a 2

    Passo 2

  3. Determine o potencial elétrico no ponto O da cama semiesférica. Adote potencial nulo no infinito.
  4. A definição de potencial elétrico diz que:

    V O = 1 4 π ϵ 0   ∫ d q r

    Como vimos no passo 1:

    d q = ρ d V

    d q = A r   2 π r 2 d r

    d q = 2 π A r   d r

    Substituindo na equação de V O :

    V O = 2 π A 4 π ϵ 0 ∫ a b d r

    V O = A 2 ϵ 0 b - a

    Passo 3

  5. Se uma carga pontual q com o mesmo sinal da constante A da densidade volumétrica de carga é solta no centro O , qual é a velocidade final v f → que ela atinge?

Pra esse tipo de questão, o segredo é utilizar a conservação de energia.

Quando a carga q está no ponto O , ela possui energia potencial U O dada por:

U O = q V O

Como já calculamos V O no item anterior, a energia potencial será:

U O = q A 2 ϵ 0   b - a

No instante em que a carga é solta, ela possui apenas energia potencial, e não energia cinética.

Depois que a carga é solta, no infinito, toda essa energia potencial é transformada em energia cinética. Assim, de acordo com a conservação de energia, teremos:

m v f 2 2 = U O

m v f 2 2 = q A 2 ϵ 0   b - a

v f = q A m ϵ 0   b - a

v f → = q A m ϵ 0   b - a   i ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Resposta

  1. Q = π A b 2 - a 2

  2. V O = A 2 ϵ 0   b - a

v f → = q A m ϵ 0   b - a   i ^

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