Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Um anel circular de raio A e uma casca esférica de raios B e C têm centro comum, situado na origem de um sistema de coordenadas.

Uma carga total Q > 0 está uniformemente distribuída no anel. Uma carga total - Q está uniformemente distribuída na casca esférica. Sabe-se que A > B > C > 0 e que o anel está contido no plano x y , conforme mostra o corte da configuração representado na figura acima.

a Determine o vetor campo elétrico devido à casca esférica em um ponto arbitrário z 0 do eixo z tal que z 0 > A .

b A partir do resultado do item a , determine o potencial elétrico devido à casca esférica no mesmo ponto.

c Determine o potencial elétrico devido ao anel no mesmo ponto.

d A partir do resultado do item c , determine o vetor campo elétrico devido ao anel no mesmo ponto.

e Indique, justificando, o sinal do potencial elétrico e o sentido do vetor campo elétrico devidos à configuração total (anel e casca) no ponto arbitrário z 0 do eixo z tal que z 0 > A .

Passo 1

a Determine o vetor campo elétrico devido à casca esférica em um ponto arbitrário z 0 do eixo z tal que z 0 > A .

Para calcular o campo gerado pela casca esférica, vamos utilizar a Lei de Gauss, dada por:

Φ E → = ∬ G E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Devido à simetria do problema, vamos utilizar uma gaussiana esférica de raio igual a z 0 . Fazendo isso, a Lei de Gauss pode ser simplificada para:

E c z 0 . 4 π z 0 2 = - Q ϵ 0

Obs.: Como estamos calculando o campo gerado apenas pela casca esférica, para o a carga interna Q i n t consideraremos apenas a carga - Q da casca esférica.

E c z 0 = - Q 4 π ϵ 0 z 0 2

Por fim, como estamos querendo saber o vetor campo elétrico sobre o eixo z , teremos:

E c → z 0 = - Q 4 π ϵ 0 z 0 2 z ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b A partir do resultado do item a , determine o potencial elétrico devido à casca esférica no mesmo ponto.

O potencial está relacionado com o campo elétrico através da seguinte equação:

V b - V a = - ∫ a b E → ∙ d r →

Como estamos calculando uma variação, precisamos de um ponto de referência que, neste caso, costuma ser o infinito b = ∞ , onde V ∞ = 0 , logo:

V ∞ - V c z 0 = - ∫ z 0 ∞ - Q 4 π ϵ 0 z 2 d z

0 - V c z 0 = Q 4 π ϵ 0 ∫ z 0 ∞ d z z 2

- V c z 0 = Q 4 π ϵ 0 - 1 z z 0 ∞

Finalmente:

V c z 0 = - Q 4 π ϵ 0 z 0

Passo 3

c Determine o potencial elétrico devido ao anel no mesmo ponto.

Para calcular o potencial gerado pelo anel costumamos começar calculando o potencial gerado por um pedaço infinitesimal do anel, com carga d q , de forma que:

d V = 1 4 π ϵ 0 d q r

Onde r é a distância entre qualquer ponto do anel ao ponto z 0 , sobre o eixo z . Assim, podemos escrever a distância r como:

r = A 2 + z 0 2

Como a carga está uniformemente distribuída no anel, podemos utilizar aqui o conceito de densidade linear de carga, dada por:

λ = d q d l = Q 2 π A

d q = Q 2 π A   d l

Onde d l corresponde ao tamanho de um pedaço infinitesimal do corpo carregado. Como estamos trabalhando com um anel, d l = A   d θ , logo:

d q = Q 2 π A   A d θ = Q 2 π d θ

Assim, voltando à primeira expressão deste passo:

d V = 1 4 π ϵ 0 Q 2 π A 2 + z 0 2 d θ

Integrando os dois lados, onde 0 ≤ θ ≤ 2 π , teremos:

V a z 0 = 1 4 π ϵ 0 Q 2 π A 2 + z 0 2 ∫ 0 2 π d θ

V a z 0 = 1 4 π ϵ 0 2 π Q 2 π A 2 + z 0 2

V a z 0 = 1 4 π ϵ 0 Q A 2 + z 0 2

Passo 4

d A partir do resultado do item c , determine o vetor campo elétrico devido ao anel no mesmo ponto.

Como o potencial elétrico depende somente da distância z 0 , podemos encontrar a expressão do campo elétrico a partir da expressão:

E a → z 0 = - d V a d z 0 z ^ = - Q 4 π ϵ 0 d d z 0 1 A 2 + z 0 2 z ^

E a → z 0 = Q 4 π ϵ 0 z 0 A 2 + z 0 2 3 / 2 z ^

Passo 5

e Indique, justificando, o sinal do potencial elétrico e o sentido do vetor campo elétrico devidos à configuração total (anel e casca) no ponto arbitrário z 0 do eixo z tal que z 0 > A .

Potencial elétrico:

O potencial elétrico resultante será a soma dos potenciais individuais da casca esférica e do anel, logo

V z 0 = V c z 0 + V a z 0

Substituindo as expressões que encontramos nos Passos 2 e 3, teremos:

V z 0 = - Q 4 π ϵ 0 z 0 + 1 4 π ϵ 0 Q A 2 + z 0 2

Isolando os termos em comum, temos:

V z 0 = Q 4 π ϵ 0 - 1 z 0 + 1 A 2 + z 0 2

Analisando os denominadores:

z 0 < A 2 + z 0 2

1 z 0 > 1 A 2 + z 0 2

Assim, o potencial V z 0 é negativo.

Passo 6

Campo elétrico:

O campo elétrico resultante no ponto z 0 será a soma vetorial dos campos individuais da casca esférica e do anel, logo:

E → z 0 = E c → z 0 + E a → z 0

Substituindo as expressões que encontramos nos Passos 1 e 4, teremos:

E → z 0 = - Q 4 π ϵ 0 z 0 2 z ^ + Q 4 π ϵ 0 z 0 A 2 + z 0 2 3 / 2 z ^

Colocando os termos em comum em evidência, teremos:

E → z 0 = Q 4 π ϵ 0 - 1 z 0 2 + z 0 A 2 + z 0 2 3 / 2 z ^

Para facilitar a análise, vamos colocar o z 0 em evidência também:

E → z 0 = Q z 0 4 π ϵ 0 - 1 z 0 3 + 1 A 2 + z 0 2 3 / 2 z ^

Analisando os denominadores:

z 0 3 < A 2 + z 0 2 3 / 2

1 z 0 3 > 1 A 2 + z 0 2 3 / 2

Logo, o vetor campo elétrico possui o sentido do vetor - z ^ .

Resposta

a

E c → z 0 = - Q 4 π ϵ 0 z 0 2 z ^

b

V c z 0 = - Q 4 π ϵ 0 z 0

c

V a z 0 = 1 4 π ϵ 0 Q A 2 + z 0 2

d

E a → z 0 = Q 4 π ϵ 0 z 0 A 2 + z 0 2 3 / 2 z ^

e  

O potencial elétrico é negativo e o vetor campo elétrico possui sentido do vetor - z ^ .

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