Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Lei de Gauss

Uma esfera, de raio a e carga total Q , possui uma densidade volumar (resultante) de carga estacionária, mas não uniforme, dada por:

ρ = A r ,       ( r < a )

Onde A é uma constante e r é a distância até o seu centro. Essa esfera está envolta por uma casca esférica condutora, concêntrica, de raio interno b e raio externo c , com carga total - 2 Q , em equilíbrio eletrostático.

  1. Expresse a constante A como função de a e de Q .
  2. Quais são as densidades superficiais de carga na casca esférica condutora?
  3. Determine o campo elétrico nas quatro regiões:
    • r ∈ 0 , a
    • r ∈ a , b
    • r ∈ b , c
    • r ∈ c , ∞
  4. Determine o potencial eletrostático nas quatro regiões supracitadas, tomando-o como zero no infinito.

Passo 1

Essa primeira se trata de uma questão de calcular a carga total. Como temos uma densidade volumar, temos:

ρ = d q d V → d q = ρ d V

Integrando em toda a esfera:

Q = ∫ 0 a ρ d V

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabemos também que:

ρ = A r

d V = 4 π r 2 d r

Substituindo:

Q = ∫ 0 a A r   ( 4 π r 2 d r )

Q = 4 π A ∫ 0 a r 3 d r

Q = 4 π A r 4 4 0 a

Portanto:

Q = π A a 4

Como se queria o A em função das outras constantes, isolamos:

A = Q π a 4

Passo 3

Agora resolvemos a clássica questão das densidades superficiais. Temos que o condutor tem carga total - 2 Q , portanto, por conservação de cargas:

q s e + q s i = - 2 Q

q s e : Carga na superfície externa

q s i : Carga na superfície interna

Na parte maciça do condutor não pode haver campo além de que a carga interna à Gaussiana é proveniente da esfera maciça Q e da carga da superfície interna q s i , portanto, pela Lei de Gauss:

∯ G E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

∯ G 0 → ∙ d A → = Q + q s i ϵ 0

0 = Q + q s i ϵ 0

q s i = - Q

Passo 4

Aplicando na equação de conservação de cargas:

q s e + q s i = - 2 Q

q s e + - Q = - 2 Q

q s e = - Q

Agora basta dividir pelas áreas para obter as densidades:

σ s i = q s i A s i

σ s i = - Q 4 π b 2

Analogamente:

σ s e = - Q 4 π c 2

Passo 5

Dando prosseguimento, agora partimos para calcular o campo em todas as regiões. Na primeira região, vemos um corte da Gaussiana, que é uma esfera:

0 < r < a

Enunciamos a Lei de Gauss:

∯ G E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Onde, por conta da configuração do campo, que é radial e possui simetria esférica, a nossa G é escolhida como uma esfera de raio arbitrário r .

Em função disto, em toda ela o vetor d A → é paralelo ao vetor E → , portanto:

E → ∙ d A → = E d A

∯ G E d A = Q i n t ϵ 0

Além disso, ainda em função da configuração do campo, o módulo deste é constante em toda G :

E = cte em toda   G

Logo podemos tirar o campo da integral:

∯ G E d A = E ∯ G d A

∯ G d A = Área ( G )

Segue que:

E ( 4 π r 2 ) = Q i n t ϵ 0

E = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2

Nos resta calcular a carga interna à Gaussiana.

Passo 6

Integrando a densidade vezes o diferencial de volume em toda a Gaussiana, obtemos a quantidade de carga interna à ela:

Q i n t = ∫ 0 r A r ' × 4 π r ' 2 d r '

Q i n t = 4 π A ∫ 0 r r ' 3 d r '

Q i n t = π A r 4

Ao passo que sabemos o valor da constante A :

Q i n t = Q r 4 a 4

Substituindo na expressão do campo e multiplicando pelo vetor diretor r ^ :

E → = 1 4 π ϵ 0 r 2 × Q r 4 a 4 r ^

E → = Q r 2 4 π ϵ 0 a 4 r ^

Passo 7

Já na segunda região:

a < r < b

Analogamente ao passo 3, nós escolhemos uma Gaussiana esférica de raio arbitrário r , logo:

E = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2

Ao passo que a carga interna é a carga total da esfera de raio a :

Q i n t = Q

Substituindo e multiplicando pelo vetor diretor:

E → = Q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

Passo 8

Agora estamos na terceira região:

b < r < c

De acordo com o enunciado estamos dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, portanto o campo é necessariamente nulo:

E → = 0 →

Passo 9

Finalmente, fazemos a quarta e última região:

r > c

Analogamente ao passo 3, pela Lei de Gauss, escolhemos uma Gaussiana esférica de raio arbitrário r , portanto:

E → = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2 r ^

A carga interna é a soma de todas as cargas, portanto:

Q i n t = Q + - 2 Q

Q i n t = - Q

Logo:

E → = - Q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

Passo 10

Aplicando a equação da diferença de potencial eletrostático:

Δ V = - ∫ C E → ∙ d r →

Escolhendo um caminho C radial partindo do infinito e chegando à um ponto na região r ≥ c , temos que o paralelismo entre E → e d r → some com aquele produto escalar:

E → ∥ d r → → E → ∙ d r → = E d r

V r - V ∞ = - ∫ ∞ r E d r

V r = - ∫ ∞ r - Q 4 π ϵ 0 r 2 d r

Integra:

V r = Q 4 π ϵ 0 ∫ ∞ r d r r 2

V r = Q 4 π ϵ 0 - 1 r ∞ r

V r = - Q 4 π ϵ 0 1 r - lim t → ∞ ⁡ 1 t

V r = - Q 4 π ϵ 0 1 r

E obtemos o nosso potencial para r ≥ c :

V r = - Q 4 π ϵ 0 r ,       r ≥ c

Passo 11

Agora passamos para a região r ∈ b , c . Como temos que partir de um ponto de potencial conhecido, vamos partir de r = c :

V r - V c = - ∫ c r E d r

Onde o V c é obtido pela expressão anterior:

V c = - Q 4 π ϵ 0 c

E o campo nós obtivemos do Passo 9:

V ( r ) - - Q 4 π ϵ 0 c = - ∫ c r 0 × d r

V r + Q 4 π ϵ 0 c = 0

Obtemos então nossa expressão do potencial nessa região:

V r = - Q 4 π ϵ 0 c ,       r ∈ b , c

Passo 12

Mesmo esquema. Vamos para a região r ∈ a , b . Partindo de r = b até um ponto arbitrário, o campo nós obtivemos do Passo 8:

V r - V b = - ∫ b r Q 4 π ϵ 0 r 2 d r

O potencial nós tiramos na expressão anterior:

V r = - Q 4 π ϵ 0 c

Substituindo r = b , dá no mesmo porque não depende de r :

V b = - Q 4 π ϵ 0 c

V r - - Q 4 π ϵ 0 c = - Q 4 π ϵ 0 ∫ b r d r r 2

V r + Q 4 π ϵ 0 c = - Q 4 π ϵ 0 - 1 r b r

V r + Q 4 π ϵ 0 c = Q 4 π ϵ 0 1 r - 1 b

Arrumando, obtemos o nosso potencial para a região r ∈ a , b :

V r = Q 4 π ϵ 0 1 r - 1 b - 1 c ,     r ∈ a , b

Passo 13

Partindo agora para a última região r < a . Saímos do ponto r = a onde conhecemos o potencial, e o campo nós tiramos do Passo 7:

V r - V a = - ∫ a r Q r 2 4 π ϵ 0 a 4 d r

O potencial vem do passo anterior:

V a = Q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b - 1 c

V r - Q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b - 1 c = - Q 4 π ϵ 0 a 4 ∫ a r r 2 d r

V r - Q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b - 1 c = - Q 4 π ϵ 0 a 4 r 3 3 a r

Quando for ficando feio assim acho que não tem problema substituir k = 1 / 4 π ϵ 0 :

V r - k Q 1 a - 1 b - 1 c = - k Q 3 a 4 r 3 - a 3

V r = k Q 1 3 a + 1 a - 1 b - 1 c - r 3 3 a 4

Se quiser arrumar, à vontade:

V r = k Q 4 3 a - 1 b - 1 c - r 3 3 a 4 ,       r < a

Ufa, enfim!

Resposta

  1. A = Q π a 4
  2. σ s i = - Q 4 π b 2 e σ s e = - Q 4 π c 2
  3. E → = Q r 2 4 π ϵ 0 a 4 r ^ ,       r < a Q 4 π ϵ 0 r 2 r ^ ,       a < r < b 0 → ,       b < r < c - Q 4 π ϵ 0 r 2 r ^ ,       c < r
  4. V = k Q 4 3 a - 1 b - 1 c - r 3 3 a 4 ,       r < a Q 4 π ϵ 0 1 r - 1 b - 1 c ,       a < r < b - Q 4 π ϵ 0 c ,       b < r < c - Q 4 π ϵ 0 r ,       c < r

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