Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Um capacitor esférico é formado por dois condutores em equilíbrio eletrostático. O condutor interno possui formato esférico, de raio a , e está carregado com uma carga total + Q . O segundo condutor, de raio interno 2 a e raio externo 3 a , está carregado com uma carga total - Q .

(a) Determine o vetor campo elétrico em todo o espaço e indique como as cargas elétricas estão distribuídas em cada um dos condutores.

(b) Determine o potencial elétrico em todo o espaço. Assuma que o potencial é zero no infinito.

(c) Calcule a capacitância do capacitor.

Passo 1

As cargas elétricas do condutor interno estão localizadas na sua superfície e induzem uma carga negativa de - Q na superfície interna do condutor externo, como pode ser visto na figura abaixo.

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Passo 2

Para calcular o campo elétrico, vamos utilizar a Lei de Gauss, que diz que:

∮ E → ⋅ d A → = Q i n t ϵ 0 .

Nas regiões r < a e 2 a < r < 3 a , o campo elétrico é zero, pois não há cargas no interior dos condutores. Para a região a < r < 2 a , temos que:

E ∮ d A = Q ϵ 0 → E 4 π r 2 = Q ϵ 0 ,

E = Q 4 π ϵ 0 r 2 .

Como o campo aponta das cargas positivas (condutor interno) para as negativas (condutor externo), o vetor E → pode ser escrito como:

E → = Q 4 π ϵ 0 r 2 r ^ .

Por fim, para r > 3 a , o campo elétrico é nulo, pois a carga interna total também é nula.

Passo 3

A partir do campo elétrico E → , obtemos o potencial elétrico por meio da equação:

V A - V B = ∫ r A r B E → ⋅ d l → .

Para a região r > 2 a , vamos considerar que V B = 0 em um ponto B situado no infinito, ou seja, r B = ∞ . O potencial V 1 = V A em um ponto A a uma distância r é dado por:

V = ∫ r ∞ E → ⋅ d l → .

Como E → = 0 → , logo, V 1 = 0 .

Para a região a < r < 2 a , o potencial V 2 será dado por:

V 2 = V 1 + ∫ r 2 a Q 4 π ϵ 0 l 2 d l ,

V 2 = Q 4 π ϵ 0 1 r - 1 2 a   .

Para a região r < a , E → = 0 → . Portanto, o potencial V 3 será dado por:

V 3 - V 2 = 0 → V 3 = V 2 .

Aqui, usamos V 2 para o caso em que r = a , ou seja:

V 3 = Q 4 π ϵ 0 1 a - 1 2 a ,

V 3 = Q 8 π ϵ 0 a .

Passo 4

A diferença de potencial entre as placas do capacitor é V = Q / 8 π ϵ 0 a . Logo, utilizando a relação C = Q / C , temos que:

C = 8 π ϵ 0 a .

Resposta

(a) E → = Q 4 π ϵ 0 r ^ , para a < r < 2 a ; e E → = 0 , para r > 2 a e r < a .

(b) V = 0 , para r > 2 a ; V = Q 4 π ϵ 0 1 r - 1 2 a , para a < r < 2 a ; e V = Q 8 π ϵ 0 a , para r < a .

(c) C = 8 π ϵ 0 a .

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