Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Considere uma coroa circular com uma distribuição superficial de carga σ constante (estacionária e uniforme), onde σ > 0 . A coroa possui raio interno a e raio externo b e está localizada no plano O X Y , com o seu centro na origem, conforme ilustra a figura abaixo.

(a) Calcule o potencial eletroestático gerado por essa coroa circular no ponto P ( 0 ,   0 ,   z ) , localizado no eixo Z , conforme ilustra a figura.

(b) Calcule o vetor campo elétrico gerado por essa coroa circular no ponto P ( 0 ,   0 ,   z ) , localizado no eixo Z , conforme ilustra a figura.

Considere agora o limite em que o raio externo b tende ao infinito, de forma que passamos a ter um plano infinito com um orifício circular de raio a . A distribuição de carga contínua sendo uniforme, com densidade superficial σ . Para essa nova configuração, responda às perguntas a seguir.

(c) Considere que uma partícula de teste, de massa m e carga q 0 , onde q 0 > 0 , tenha sido abandonada do repouso no ponto P ( 0 ,   0 ,   z ) , Calcule a posição de equilíbrio da partícula no eixo Z . Adote a aceleração da gravidade como g → = - g . z ^ .

(d) Calcule a variação da energia potencial eletroestática da partícula de carga q 0 , a partir do momento em que ela foi abandonada do ponto P ( 0 ,   0 ,   z ) , até passar pela origem do sistema de coordenadas.

Passo 1

O potencial elétrico causado por um infinitésimo de carga é dado por

d V = 1 4 π ϵ 0 d q r  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se tomarmos uma distância a < ρ < b do centro do disco, temos uma carga d q ocupando uma área d A . A relação entre essas duas quantidades é dada por

σ = d q d A → d q = σ d A

Essa área em coordenadas cilíndricas é dada por

d A = ρ d ρ d ϕ

Assim, temos

d q = σ ρ d ρ d ϕ

Passo 3

Agora, voltando para o potencial

d V = 1 4 π ϵ 0 d q r = 1 4 π ϵ 0 σ ρ d ρ d ϕ r

A distância r é a distância entre a carga d q e o ponto P . Pela figura podemos calcular r usando teorema de Pitágoras.

r = ρ 2 + z 2

E o potencial fica

d V = 1 4 π ϵ 0 d q r = 1 4 π ϵ 0 σ ρ d ρ d ϕ ρ 2 + z 2

Agora basta integrar sobre o disco vazado

V = σ 4 π ϵ 0 ∫ a b ρ d ρ ρ 2 + z 2 ∫ 0 2 π d ϕ

A integral radial fica moleza se fizermos a substituição

u = ρ 2 + z 2 → d u = 2 ρ d ρ

Assim

∫ b a ρ d ρ ρ 2 + z 2 = 1 2 ∫ a 2 + z 2 b 2 + z 2 d u u 1 / 2   = u 1 / 2     a 2 + z 2 b 2 + z 2 = b 2 + z 2 - a 2 + z 2

E a integral angular é simplesmente 2 π  

V = σ 4 π ϵ 0 b 2 + z 2 - a 2 + z 2 2 π

V = σ 2 ϵ 0 b 2 + z 2 - a 2 + z 2

Passo 4

É muito importante aqui enxergar V como uma função de z beleza? Porque o campo elétrico é igual a menos o gradiente de V :

E → = - ∇ V = - d V d z

Afinal, V só depende de z e não varia com x e y . Derivando a gente pode encontrar o campo mais rápido do que fazendo uma integração de pequenos campos elétricos e começando tudo de novo.

Aí basta derivar em relação a z .

E → = - ∇ → V = - d V d z z ^ = - σ 2 ϵ 0 2 z 1 2 z 2 + b 2 - 1 2 z 2 + a 2 z ^

E → = σ z 2 ϵ 0 1 z 2 + a 2 - 1 z 2 + b 2 z ^

Passo 5

Fazer b tender ao infinito. Se isso acontecer o segundo termo do campo elétrico some:

E → b → ∞ = σ z 2 ϵ 0 . 1 z 2 + a 2

Passo 6

Para que a carga fique em equilíbrio, a força gravitacional tem que ser igual ao campo vezes a carga:

q 0 . E → b → ∞ = m . g → q 0 . z . σ 2 ϵ 0 . 1 z 2 + a 2 = m . g

2 ϵ 0 . m . g q 0 . σ = 1 1 + a z 2 → 1 + a z 2 = q 0 . σ 2 ϵ 0 . m . g → 1 + a z 2 = q 0 . σ 2 ϵ 0 . m . g 2

a z = q 0 . σ 2 ϵ 0 . m . g 2 - 1

z = a q 0 . σ 2 ϵ 0 . m . g 2 - 1

Passo 7

Agora queremos a variação de energia potencial entre os dois pontos determinados na letra (d). Queremos o seguinte:

Δ E P = E F I N A L - E I N I C I A L = E P 0,0 , 0 - E p 0,0 , z = q 0 . ( V 0,0 , 0 - V 0,0 , z )

= q 0 . σ 2 ϵ 0 . [ 0 2 + b 2 - 0 2 + a 2 - z 2 + b 2 - z 2 + a 2

Δ E P = q 0 . σ 2 . ϵ 0 . z 2 + a 2 - a - z 2 + b 2 - b

Que é a resposta da última letra da questão. Essa conta veio diretamente da definição de potencial elétrico :)

Resposta

(a)

V = σ 2 ϵ 0 b 2 + z 2 - a 2 + z 2

(b)

E → = σ z 2 ϵ 0 . 1 z 2 + a 2 - 1 z 2 + b 2 z ^

(c)

  z = a q 0 . σ 2 ϵ 0 . m . g 2 - 1

(d)

q 0 . σ 2 ϵ 0 . z 2 + a 2 - a - z 2 + b 2 - b

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