Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

UNICAMP – Física 3 – 2020.1 – P1 – Discursiva

Q 1 - A figura ao lado mostra duas barras isolantes de comprimento L , que estão uniformemente carregadas com densidades lineares de cargas λ 1 e - λ 2 , respectivamente, e uma carga puntiforme - Q , situada a uma distância 3 a da Barra I .

a ) Determine o vetor campo elétrico, produzido no ponto P , pelo conjunto (barras e carga).

b ) Determine o potencial elétrico no ponto P produzido pelo conjunto.

c ) Supondo que λ 1 = Q / L , determine λ 2 para que o campo elétrico faça um ângulo de 45 ° com a horizontal.

Dica: Não se esqueça de explicitar qual é seu sistema de referências.

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa questão!

Para achar o campo em P temos que somar as contribuições dos da barra 1 , da barra 2 e da carga puntiforme nesse ponto. Para achar esses campos vamos usar a seguinte equação:

d E → = 1 4 π ϵ 0 d q r 2 r ^

Para facilitar nossas contas vamos considerar a origem dos eixos coordenados x y no ponto P . Onde o sentido positivo de x é para a direita e o de y é para cima.

Para achar o potencial elétrico pedido em b , vamos usar a seguinte equação.

V = ∫ L 1 4 π ϵ 0 d q r → - r → '

Onde r → - r → ' nada mais é que a distância do elemento de carga d q até o ponto onde estamos querendo avaliar o potencial.

Para o item ( c ) , temos que usar o fato que para o campo elétrico está a 45 ° a sua componente x tem que ser igual a sua componente y , pois

tg ⁡ θ = E y E x

tg ⁡ 45 ° = 1

Logo:

E y E x = 1

Vamos calcular esses campos então!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar com o campo produzido pela carga puntiforme. O campo dessa carga vai estar na direção que liga a carga e o ponto P , então ele estará na direção x ^ .

Ela se encontra a uma 2 a do ponto P , então a distância r 2 = x 2 = 4 a 2 . Como estamos lidando com uma carga pontual, seu elemento de carga d q vai ser igual a carga da partícula, então temos que:

d E → = 1 4 π ϵ 0 d q x 2 x ^

⇒ E → = 1 4 π ϵ 0 - Q 4 a 2 x ^

Mas como x ^ é um vetor que aponta da carga para o ponto onde queremos saber o campo, temos que esse x ^ na verdade é - x ^ , com isso nosso campo é:

E → = 1 4 π ϵ 0 Q 4 a 2 x ^

Esse campo então aponta para o sentido positivo do eixo x .

Passo 3

Vamos agora calcular o campo que a barra 1 faz em P . O campo dessa barra no ponto P vai estar na direção que liga a carga e o ponto P , então ele estará na direção x ^ .

Para achar o campo da barra vai ser um pouco mais complicado já que ela não é um objeto pontual, então o campo elétrico gerado por ela em P vai ser dado pela contribuição de cada pedacinho d x da barra.

A equação do passo 1 dos dá o campo gerado por um elemento de carga d q em uma posição

d x .

O enunciado diz que a barra 1 tem uma densidade linear de carga λ 1 , isso quer dizer ela tem uma quantidade d q de carga por unidade de comprimento d x , então temos que:

λ 1 = d q d x

⇒ d q = λ 1 d x

Com isso temos o seguinte:

d E → = 1 4 π ϵ 0 d q x 2 x ^

⇒ d E → = 1 4 π ϵ 0 λ 1 d x x 2 x ^

Esse é o campo gerado por um elemento de carga da barra a uma distância x da origem, para achar da barra toda, vamos integrar os dois lados dessa equação, onde o lado esquerdo vai ser integrado de a + L até a , que da o comprimento da barra, assim temos:

∫ d E → 1 = ∫ - a - L - a 1 4 π ϵ 0 λ 1 d x x 2 x ^

⇒ E → 1 = 1 4 π ϵ 0 λ 1 ∫ - a - L - a d x x 2   x ^

= 1 4 π ϵ 0 λ 1 - 1 x - a - L - a x ^

= 1 4 π ϵ 0 λ 1 1 a - 1 a + L x ^

Então temos que:

E → 1 = 1 4 π ϵ 0 λ 1 L a a + L x ^

Passo 4

O raciocínio para calcular o campo da barra 2 é igual ao da barra 1 , só que a gora na direção y , então temos o seguinte:

∫ d E → 2 = ∫ - a - L - a 1 4 π ϵ 0 - λ 2 d y y 2 y ^

⇒ E → 2 = - 1 4 π ϵ 0 λ 2 ∫ - a - L - a d y y 2   y ^

= - 1 4 π ϵ 0 λ 2 - 1 y - a - L - a y ^

= - 1 4 π ϵ 0 λ 2 1 a - 1 a + L y ^

Então temos que:

E → 2 = - 1 4 π ϵ 0 λ 2 L a a + L y ^

Passo 5

Juntando tudo agora temos que o campo em P , é dado por:

E → P = E → + E → 1 + E → 2

E → P = 1 4 π ϵ 0 Q 4 a 2 + 1 4 π ϵ 0 λ 1 L a a + L x ^ - 1 4 π ϵ 0 λ 2 L a a + L y ^

⇒ E → P = 1 4 π ϵ 0 Q 4 a 2 + λ 1 L a a + L x ^ - 1 4 π ϵ 0 λ 2 L a a + L y ^

Passo 6

Vamos agora achar o potencial no ponto P , para isso temos que achar o potencial que cada elemento do nosso sistema realiza em P e depois soma-los.

Vamos começar com a carga - Q , temos:

V = ∫ L 1 4 π ϵ 0 d q r → - r → '

Só que como estamos lidando com uma carga pontual, não a necessidade de se resolver essa integral já que o elemento de carga d q está concentrado em um único ponto, assim:

V = 1 4 π ϵ 0 - Q 2 a

Passo 7

Agora vamos encontrar o potencial da barra 1 em P , temos:

V = ∫ L 1 4 π ϵ 0 d q r → - r → '

Como já vimos antes d q = λ 1 d x . E temos também que r → - r → ' é igual a distância do elemento d q da barra até P , então essa distância é x .

E como queremos o potencial gerado por toda barra temos que considerar a contribuição de todos os d q da barra, então a integral fica de a + L até a , então:

V = ∫ a + L a 1 4 π ϵ 0 λ 1 d x x

= λ 1 4 π ϵ 0 ∫ a + L a d x x

= λ 1 4 π ϵ 0 ln ⁡ x a + L a

Então temos que:

V = λ 1 4 π ϵ 0 ln ⁡ a a + L

Passo 8

Para a barra 2 o raciocínio é o mesmo que para a barra 1 , só que agora temos - λ 2 , assim temos que:

V = ∫ a + L a 1 4 π ϵ 0 - λ 2 d y y

= - λ 2 4 π ϵ 0 ∫ a + L a d y y

= - λ 2 4 π ϵ 0 ln ⁡ y a + L a

Então temos que:

V = - λ 2 4 π ϵ 0 ln ⁡ a a + L

Passo 9

Agora vamos juntar tudo para acharmos o potencial total em P , temos:

V P = - 1 4 π ϵ 0 Q 2 a + λ 1 4 π ϵ 0 ln ⁡ a a + L - λ 2 4 π ϵ 0 ln ⁡ a a + L

⇒ V P = 1 4 π ϵ 0 - Q 2 a + λ 1 - λ 2 ln ⁡ a a + L

Passo 10

Agora vamos ver o que o item ( c ) quer.

Ele fala para que agora consideremos λ 1 = Q / L , com isso o campo elétrico total fica da seguinte forma:

E → P = 1 4 π ϵ 0 Q 4 a 2 + Q L L a a + L x ^ - 1 4 π ϵ 0 λ 2 L a a + L y ^

⇒ E → P = 1 4 π ϵ 0 Q 4 a 2 + Q 1 a a + L x ^ - 1 4 π ϵ 0 λ 2 L a a + L y ^

Como já vimos no passo 1 , para que esse campo esteja com um ângulo de 45 ° com a horizontal, temos que:

1 4 π ϵ 0 Q 4 a 2 + Q 1 a a + L = 1 4 π ϵ 0 λ 2 L a a + L

⇒ Q 4 a 2 + Q 1 a a + L = λ 2 L a a + L

⇒ λ 2 = Q 4 a 2 a ( a + L ) L + Q 1 L

⇒ λ 2 = Q L 1 4 + L 4 a

Pronto! Está tudo feito!

Resposta

( a )

E → P = 1 4 π ϵ 0 Q 4 a 2 + λ 1 L a a + L x ^ - 1 4 π ϵ 0 λ 2 L a a + L y ^

( b )

V P = 1 4 π ϵ 0 - Q 2 a + λ 1 - λ 2 ln ⁡ a a + L

( c )

λ 2 = Q L 1 4 + L 4 a

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