Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

USP – Física 3 2020.1 – P1– Questão 15

Uma barra unidimensional de comprimento 2 m com densidade linear de carga λ x = 1 + 2 x C / m está sobre o eixo x . A extremidade esquerda da barra está localizada em x = 0 . Quanto vale a intensidade do campo elétrico, na unidade 10 9 V / m gerado por esta distribuição de cargas no ponto P (localizado no eixo x ) a uma distância 1,3 m da extremidade direita da barra? Se necessário use ϵ 0 = 8,85 × 10 - 12 C 2 / N m 2 .

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

Vamos começar considerando que o ponto P está a uma distância d do fim da barra (que tem tamanho L ), então a abscissa do ponto é x P = L + d .

E também vamos considerar um pedaço da barra d x , e nela tem um pedacinho de carga d Q = λ d x .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O diferencial de campo elétrico é:

d E = k o d Q r

Agora vamos substituir o diferencial de carga e usar a densidade superficial de cargas que foi dado:

d E = k 0 1 + 2 x d x r 2

E agora a relação de r com o lugar onde está a carga é:

r = x P - x

Então agora temos d E em função apenas de x :

d E = k 0 1 + 2 x d x x p - x 2

Passo 3

Podemos integrar por todo lugar onde a carga está distribuída: de x = 0 até x = L :

E = ∫ 0 L k 0 1 + 2 x d x x p - x 2

Agora nosso problema ficou resolver essa integração! Vamos aos poucos! Primeiro vou dividir em duas partes:

E = k 0 ∫ 0 L d x x P - x 2 + k 0 ∫ 0 L 2 x d x x P - x 2

Agora ficou mais tranquilo resolver né?

E = - k 0 x P - x 0 L + k 0 2 x P x p - x + 2 k 0 ln ⁡ x P - x 0 L

Aplicando os limites e substituindo x P = L + d temos:

E = k 0 2 L + 2 d + 1 L L + d d + 2 ln ⁡ d L + d

E sabemos que:

L = 2 m

d = 1,3 m

k 0 = 1 4 π ϵ 0

ϵ 0 = 8,85 × 10 - 12 C 2 / N m 2

E jogando tudo na calculadora vamos ter o seguinte:

E = 1 4 π ( ϵ 0 = 8,85 × 10 - 12 ) 2 ( 1,3 ) + 2 ( 2 ) + 1 2 2 + 1,3 ( 1,3 ) + 2 ln ⁡ 2 2 + 1,3

E = 15,1 × 10 9 V / m

Beleza?

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

E = 15,1 × 10 9 V / m

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