Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Potencial Elétrico

Uma esfera sólida metálica de raio a e uma casca esférica bidimensional, de raio b > a são concêntricas e estão, cada uma, em equilíbrio eletrostático (sem contato). Na esfera interna, existe uma carga q , qao passo que, na casca externa, existe uma carga - q . Qual das afirmativas abaixo corresponde ao potencial eletrostático desse sistema nas regiões:

  1. 0 ≤ r ≤ a
  2. a ≤ r ≤ b
  3. b ≤ r < ∞

Considere o potencial como zero no infinito.

  1. V i = q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b ,     V i i = q 4 π ϵ 0 1 r - 1 b ,     V i i i = q 4 π ϵ 0 1 b - 1 a
  2. V i = q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b ,     V i i = q 4 π ϵ 0 1 r - 1 b ,     V i i i = 0
  3. V i = q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b ,     V i i = 0 ,     V i i i = q 4 π ϵ 0 1 b - 1 a
  4. V i = 0 ,     V i i = q 4 π ϵ 0 1 r - 1 b ,     V i i i = q 4 π ϵ 0 1 b - 1 a
  5. V i = 0 ,     V i i = q 4 π ϵ 0 1 r - 1 b ,     V i i i = 0
  6. V i = 0 ,     V i i = 0 ,     V i i i = 0

Passo 1

A fórmula que precisamos para resolver essa questão é a de potencial:

V a - V b = - ∫ b a E → ∙ d r →

Como no infinito temos o potencial igual à zero, vamos partir desse ponto para calcular o potencial da região III. Precisamos do campo dessa região, pela lei de Gauss para Múltiplas Escolhas:

E → = Q i n t A ϵ 0 r ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Na Gaussiana da região III temos:

Q i n t = - q + q = 0

Portanto:

E → = 0 A ϵ 0 r ^ → E → = 0 →

Integrando para b ≤ r < ∞ :

V i i i r - V ∞ = - ∫ ∞ r 0 → ∙ d r →

V i i i r - 0 = 0

V i i i r = 0

Passo 3

Show de bola. Agora vamos para a região II. Pela mesma lógica, vamos jogar a Lei de Gauss para Múltiplas Escolhas para achar o campo:

E → = Q i n t A ϵ 0 r ^

Onde temos:

Q i n t = q

Logo:

E → = q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

Passo 4

Podemos então integrar essa joça na região desejada ( a ≤ r ≤ b ):

V i i r - V b = - ∫ b r q 4 π ϵ 0 r 2 r ^ ∙ d r   r ^  

V i i r - 0 = - q 4 π ϵ 0 ∫ b r 1 r 2 d r

V i i r = q 4 π ϵ 0 × 1 r b r

V i i r = q 4 π ϵ 0 1 r - 1 b

Passo 5

Show? Agora, pela mesma lógica vamos fazer a região I. Só se ligar no seguinte, como a esfera é metálica ela é necessariamente condutora, então a carga vai ficar toda em sua superfície. Por consequência, temos que:

Q i n t = 0

Pela Lei de Gauss:

E → = 0 A ϵ 0 r ^ = 0 →

Então integramos nessa última região ( 0 ≤ r ≤ a ):

V i r - V a = - ∫ a r 0 → ∙ d r →

V i r - V a = 0

V i r = V a

Mas pela expressão que encontramos anteriormente para a ≤ r ≤ b nós temos:

V a = q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

Logo:

V i r = q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

Resposta

Letra b

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