Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Uma coroa circular está uniformemente carregada com densidade superficial de carga σ , onde σ > 0 . A coroa possui raio interno a , raio externo b b > a e está localizada no plano X Y com o seu centro na origem, como mostrado na figura abaixo.

a Determine a carga total da coroa.

b Determine a expressão para o potencial eletrostático gerado por essa coroa circular no ponto P 0 ,   0 ,   z , localizado no semieixo positivo O Z .

( c ) Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) gerado por essa coroa circular no ponto P 0 ,   0 ,   z , localizado no semieixo positivo O Z .

Formulário

∫ u d u v 2 + u 2 = u 2 + v 2

Passo 1

a Determine a carga total da coroa.

Como a carga está uniformemente distribuída na coroa circular, podemos dizer que:

σ = Q A → Q = σ A

Onde A = π b 2 - a 2 corresponde à área da coroa. Logo:

Q = σ π b 2 - a 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Determine a expressão para o potencial eletrostático gerado por essa coroa circular no ponto P 0 ,   0 ,   z , localizado no semieixo positivo O Z .

O segredo pra esse tipo de problema é começar olhando para o potencial gerado por um pedaço infinitesimal da coroa, com carga d q .

Nesse caso, dada a simetria do problema, vamos tratar desse pedaço infinitesimal como se fosse um anel com raio genérico r , tal que a ≤ r ≤ b , se liga:

O potencial d V gerado por esse anel no ponto P é dado por:

d V = 1 4 π ϵ 0 d q d

Onde d = r 2 + z 2 .

Além disso, a carga infinitesimal está associada à densidade superficial de carga da seguinte forma:

σ = d q d A → d q = σ . d A

Onde d A = 2 π r . d r corresponde à área infinitesimal do anel.

d q = σ . 2 π r . d r

Assim, substituindo d e d q na expressão do potencial, teremos:

d V = 1 4 π ϵ 0 σ . 2 π r . d r r 2 + z 2

d V = σ 2 ϵ 0 r . d r r 2 + z 2

Passo 3

Pra fechar, basta integrar a expressão acima, onde a ≤ r ≤ b :

V = ∫ a b σ 2 ϵ 0 r . d r r 2 + z 2

Tirando o que não depende de r da integral:

V = σ 2 ϵ 0 ∫ a b r . d r r 2 + z 2

A resposta dessa integral consta no formulário da prova, então lá vai uma boa dica: toda vez que você vir uma integral que ache um pouco estranha, dê uma olhada no formulário, é possível que a resposta dessa integral esteja lá.

Continuando...

V = σ 2 ϵ 0 r 2 + z 2 a b

V = σ 2 ϵ 0 b 2 + z 2 - a 2 + z 2

Passo 4

( c ) Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) gerado por essa coroa circular no ponto P 0 ,   0 ,   z , localizado no semieixo positivo O Z .

Poderíamos usar o mesmo princípio que utilizamos pra calcular o potencial no item anterior, mas como já temos uma expressão do potencial, dada a simetria do problema, o campo terá apenas uma componente em z , então podemos usar a seguinte relação:

E z = - d V d z

E z = - d d z σ 2 ϵ 0 b 2 + z 2 - a 2 + z 2

E z = - σ 2 ϵ 0 d d z b 2 + z 2 - a 2 + z 2

Derivando a equação entre parênteses, teremos:

E z = - σ 2 ϵ 0 z b 2 + z 2 - z a 2 + z 2

Arrumando a casa:

E z = σ z 2 ϵ 0 1 a 2 + z 2 - 1 b 2 + z 2

Resposta

a Q = σ π b 2 - a 2

b V = σ 2 ϵ 0 b 2 + z 2 - a 2 + z 2

c E z = σ z 2 ϵ 0 1 a 2 + z 2 - 1 b 2 + z 2

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