Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

PUCRIO-P1-2013.2-3

A figura ilustra uma coroa circular disposta no plano x - y , centrada na origem, de raio interno a = 3   m e raio externo b = 8   m . Sua carga está uniformemente distribuída e possui σ = + 18   n C / m 2 . Use k = 9   ×   10 9   N   m 2 / C 2   ou ε 0 = 9   ×   10 - 12   C 2 / N   m 2 .

a ) Considerando a referência para potenciais no infinito, encontre o valor do potencial elétrico V ( z ) num ponto qualquer do eixo z , à distância z da origem.

b ) Calcule o potencial no ponto P   ( 0 ; 0 ; 1 ; 0   m ) e o valor do trabalho realizado pela força eletrostática no deslocamento de uma carga teste q 0 =   - 2   μ C desde P até o ponto Q onde o potencial vale V Q = 820   V .

c ) Suponha que o potencial gerado pela coroa circular no ponto P ( 0 ; 0 ; 1 ; 0   m ) tenha valor V P = + 1000   V . Queremos anular o potencial em P , e para isso dispomos de uma carga pontual de valor q 1 = - 100   n C . Determine todos os pontos do espaço em que podemos posicionar a carga q 1 de modo a tornar nulo o potencial em P .

Passo 1

a )

Para determinar o potencial a uma distancia z qualquer da origem, vamos começar com o potencial produzido por uma carga infinitesimal:

d V = k d q r

Onde d q = σ . d A = σ . 2 π s d s , e r é a distância entre cada carga e o ponto z logo r = s 2 + z 2 . Substituindo:

d V = k σ . 2 π s d s s 2 + z 2

Integrando:

V z = ∫ a b k σ . 2 π s d s s 2 + z 2

V z = k σ . 2 π . ∫ a b s d s s 2 + z 2

Essa linda #sqn integral é dada! Uffaa!!

V z = k σ . 2 π . s 2 + z 2 a b

V z = 9 × 10 9 .   18 × 10 - 9 . 2 . π . b 2 + z 2 - a 2 + z 2

V z = 9 × 10 9 .   18 × 10 - 9 . 2 . π . 8 + z 2 - 3 + z 2

V z = 1,01 × 10 3 . 8 + z 2 - 3 + z 2   [ V ]

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Para o ponto em questão, teremos o seguinte potencial:

V z = 1 = 1,01 × 10 3 . 8 + 1 2 - 3 + 1 2   [ V ]

V z = 1 = 1,01 × 10 3   [ V ]

Para uma carga de prova q 0 = - 2 μ C , o trabalho para leva-la do ponto P para o ponto Q será dado pela seguinte relação:

W P → Q = - q 0 . Δ V

W P → Q = - - 2 × 10 - 6 . ( 820 - 1000 )

W P → Q = - - 2 × 10 - 6 . ( 820 - 1000 )

W P → Q = - 3,6 × 10 - 4   J

Passo 3

c )

Como queremos que no ponto P , o potencial seja nulo, o potencial gerado pela carga q 1 em P deve ser igual em módulo ao potencial que já existe, e deve ser negativo para anular o potencial, ou seja:

V q 1 = - 1000   V

O potencial gerado por uma carga é dado por:

V q 1 = k . q 1 r

Onde r é a distância do ponto P a carga, e é exatamente isso que queremos descobrir. Igualando as duas equações:

k . q 1 r = - 1000   V

9 × 10 9 . ( - 100 × 10 - 9 ) r = - 1000

r = 0,9   m

Logo, podemos colocar a carga em qualquer ponto do espaço que diste 0,9   m do ponto P . Esses pontos formam uma esfera de raio 0,9   m centrada no ponto P !

Resposta

a ) V z = 1,01 × 10 3 . 8 + z 2 - 3 + z 2   [ V ]

b ) W P → Q = - 3,6 × 10 - 4   J

c ) Os pontos formam uma esfera de raio 0,9   m centrada no ponto P .

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