Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Uma barra fina e isolante de comprimento 2 a é posicionada sobre o eixo χ de um sistema de coordenadas com seu centro sobre a origem, como mostrado na figura abaixo. Ela possui uma densidade linear de carga estacionária e não-uniforme dada por λ x = λ 0   x / a   ( - a ≤ x ≤ a ) , onde λ 0 é uma constante positiva. Considere que o potencial eletrostático é nulo no infinito.

(a) Determine o potencial eletrostático em um ponto P sobre um eixo χ , a uma distância x P > a da origem.

(b) Determine o campo eletrostático (módulo, direção e sentido) no mesmo ponto P .

(c) Obtenha uma expressão assintótica para o resultado do item (a) no limite x P ≫ a . Interprete o resultado

Passo 1

Pra começar, vamos considerar um elemento de comprimento infinitesimal d x , com coordenada x , como na figura abaixo. A distância desse elemento d x ao ponto P é x P - x . E sua carga é dada por d q = λ x d x = λ 0 x / a d x .

Ele pode ser tratado como uma carga puntiforme e sua contribuição para o potencial eletrostático em P é dado por:

d V = 1 4 π ϵ 0 d q x P - x = 1 4 π ϵ 0 a λ 0 x d x x P - x .

Logo, o potencial V será dado por:

V x P = ∫ d V = ∫ - a + a 1 4 π ϵ 0 a λ 0 x d x x P - x ,

V x P = λ 0 4 π ϵ 0 a ∫ - a + a x d x x P - x .

Para resolver a integral acima, fazemos a substituição: y = x P - x → d y = - d x . Temos:

V x P = λ 0 4 π ϵ 0 a ∫ x P + a x P - a 1 - x P y d y ,

V x P = λ 0 4 π ϵ 0 a - 2 a + x P ln ⁡ x P + a x P - a .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como as cargas se distribuem apenas ao longo do eixo x , as componentes y e z do campo elétrico devem ser nulas no ponto P , ou seja, E y = E z = 0 . A componente x pode ser obtida a partir de V x P como:

E x = - ∂ V ∂ x P = - λ 0 4 π ϵ 0 a ∂ ∂ x P - 2 a + x P ln ⁡ x P + a x P - a ,

E x = - λ 0 4 π ϵ 0 a ln ⁡ x P + a x P - a - 2 a x P x P 2 - a 2 .

Logo,

E → x P = E x i ^ .

Passo 3

Agora, queremos calcular V x P para x P ≫ a . Para começar, vamos olhar para a expansão em série de Taylor da função logaritmo (dada no formulário da prova!):

ln ⁡ 1 + x 1 - x = 2 x + 2 3 x 3 + … ,

para x < 1 .

Logo ln ⁡ x P + a / ( x P - a )   para x P ≫ a pode ser reescrito como:

ln ⁡ x P + a x P - a = ln ⁡ 1 + a / x P 1 - a / x P ≈ 2 a x P + 2 3 a x P 3 .

Substituindo em V x P , temos:

V x P ≈ λ 0 6 π ϵ 0 a x P 2 .

Isso significa que o potencial cai a 1 / x P 2 nesse limite, correspondendo ao de um dipolo elétrico. Isso ocorre porque a carga total da barra é nula, de forma que a contribuição de monopolo está ausente. A barra apresenta uma contribuição de dipolo elétrico, uma vez que ela possui uma concentração de cargas negativas em x < 0 e positivas em x > 0 .

Resposta

(a) V x P = λ 0 4 π ϵ 0 a - 2 a + x P ln ⁡ x P + a x P - a .

(b) E → = - λ 0 4 π ϵ 0 a ln ⁡ x P + a x P - a - 2 a x P x P 2 - a 2 i ^ .

(c) V x P ≈ λ 0 6 π ϵ 0 a x P 2 .

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