Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Uma esfera uniformemente carregada em todo seu volume com uma carga 10   n C tem um raio de 20 c m . Quanto vale o potencial na superfície da esfera e no seu centro com relação ao infinito. ( 1 / ( 4 π ε 0 ) = 9 × 10 9   N m 2 / C 2 )

a   450 V e 675 V ;

b   225 V e zero;

c   450 V e zero;

d   675 V e 450 V ;

e   450 V e 225 V ;

Passo 1

Na superfície da esfera, basta utilizar a expressão:

Δ V = 1 4 π ε 0 Q R

Onde:

1 4 π ε 0 = 9 × 10 9   N m 2 / C 2

Q = 10   n C = 10 × 10 - 9 C

R = 20 c m = 0,2   m

Logo:

Δ V = 9 × 10 9 × 10 × 10 - 9 0,2

Δ V = 450   V

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para calcular o potencial no centro da esfera, vamos começar calculando o potencial elétrico da esfera.

Pra isso, vamos começar a partir do potencial de um pedaço da esfera com carga d q , dado por:

d V = 1 4 π ε 0 d q r

Como a carga está uniformemente distribuída, vamos usar a densidade volumétrica de carga na esfera, dada por:

ρ = d q d V o l → d q = ρ . d V o l

Onde esse pedaço infinitesimal da esfera é uma casca esférica com volume dado por:

d V o l = 4 π r 2 d r

Além disso, a densidade volumétrica de carga pode ser escrita como:

ρ = Q V o l = Q 4 π R 3 3 → ρ = 3 Q 4 π R 3

Onde R é o raio da esfera e Q é a carga total da mesma.

Dessa forma, substituindo ρ e d V o l na expressão de d q , teremos:

d q = 3 Q 4 π R 3 4 π r 2 d r

d q = 3 Q R 3 r 2 d r

Passo 3

Voltando para expressão do potencial elétrico d V , substituindo d q , agora temos:

d V = 1 4 π ε 0 3 Q R 3 r 2 r d r

d V = 1 4 π ε 0 3 Q R 3 r d r

Como estamos trabalhando na região no interior da esfera, vamos integrar esse cara entre r e R , teremos:

Δ V = 1 4 π ε 0 3 Q R 3 ∫ r R r   d r

Δ V = 1 4 π ε 0 3 Q R 3 r 2 2 r R

Δ V = 1 4 π ε 0 3 Q 2 R 3 R 2 - r 2

Passo 4

No centro da esfera, r = 0 , logo:

Δ V = 1 4 π ε 0 3 Q 2 R 3 R 2

Δ V = 1 4 π ε 0 3 Q 2 R

Onde:

1 4 π ε 0 = 9 × 10 9   N m 2 / C 2

Q = 10   n C = 10 × 10 - 9 C

R = 20 c m = 0,2   m

Logo:

Δ V = 9 × 10 9 × 3 × 10 × 10 - 9 2 × 0,2

Δ V = 675 V

Resposta

a   450 V e 675 V ;

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