Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Seja uma casca esférica não condutora de raio interno a e raio externo b , veja a figura. A carga total na casca é + Q e está uniformemente distribuída no seu volume. Considere no infinito.

a Calcule o módulo do campo elétrico E r e o potencial elétrico V r para r > b , onde r é a distância de um ponto no espaço ao centro da casca.

b Calcule a densidade volumétrica de carga na casca.

c Calcule o módulo do campo elétrico E r para a < r < b e para r < a .

d Calcule o potencial elétrico V r para a < r < b e para r < a .

Passo 1

a Calcule o módulo do campo elétrico E r e o potencial elétrico V r para r > b , onde r é a distância de um ponto no espaço ao centro da casca.

Para este tipo de problema costumamos utilizar a Lei de Gauss, dada por:

∮ S E → ∙ d A → = q i n t ϵ 0

Nesse caso, como a carga está uniformemente distribuída no volume da casca esférica, podemos nos aproveitar da simetria do problema para simplificar a nossa vida usando uma gaussiana esférica.

Fazendo isso, a integral à esquerda da igualdade pode ser simplificada para:

E A = q i n t ϵ 0

Onde A representa a área da gaussiana que, nesse caso, por se tratar de uma esfera, pode ser escrito como 4 π r 2 , onde r é o raio da nossa gaussiana. Logo:

E r . 4 π r 2 = q i n t ϵ 0

E r = q i n t 4 π ϵ 0 r 2

A variável q i n t representa a carga dentro da gaussiana. Aqui, como estamos calculando o campo elétrico para o caso em que r > b , a gaussiana irá englobar toda a casca esférica de carga + Q .

Dessa forma:

q i n t = Q

E r = Q 4 π ϵ 0 r 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Podemos encontrar a expressão para o potencial elétrico utilizando o campo elétrico que encontramos no Passo 1, através da seguinte expressão:

Δ V = - ∫ a b E → ∙ d r →

Como essa expressão calcula uma variação de potencial elétrico, para calcularmos o potencial em um ponto específico, precisamos de um valor de referência. Esse valor de referência é geralmente o potencial no infinito, que vale zero. Dessa forma, teremos:

V ∞ - V r = - ∫ r ∞ Q 4 π ϵ 0 r 2 d r

Agora é resolver a integral:

0 - V r = - Q 4 π ϵ 0 ∫ r ∞ 1 r 2 d r

- V r = - Q 4 π ϵ 0 - 1 r r ∞

- V r = - Q 4 π ϵ 0 - 0 + 1 r

V r = Q 4 π ϵ 0 r

Passo 3

b Calcule a densidade volumétrica de carga na casca.

A densidade volumétrica de carga, por definição, é dada por:

ρ = d q d V

Neste problema, como a carga está uniformemente distribuída na casca esférica, a densidade volumétrica de carga pode ser escrita como:

ρ = Q V

Onde Q é a carga total da casca e V é o seu volume, dado por:

V = 4 π 3 b 3 - a 3

Logo:

ρ = Q 4 π 3 b 3 - a 3

ρ = 3 Q 4 π b 3 - a 3

Passo 4

c Calcule o módulo do campo elétrico E r para a < r < b e para r < a .

Vimos no Passo 1 que, por conta da simetria do problema e do fato da carga estar uniformemente distribuída, o campo elétrico pode ser escrito por:

E r = q i n t 4 π ϵ 0 r 2

Assim, o nosso trabalho aqui é calcular a carga q i n t englobada pela gaussiana em cada caso.

  • a < r < b :
  • Para esse caso, vamos utilizar a densidade de carga que calculamos no Passo 3 da seguinte forma:

    ρ = q i n t V i n t → q i n t = ρ V i n t

    Onde V i n t corresponde ao volume da casca esférica englobado pela gaussiana, que vale:

    V i n t = 4 π 3 r 3 - a 3

    Dessa forma:

    q i n t = ρ V i n t = 3 Q 4 π b 3 - a 3   4 π 3 r 3 - a 3

    q i n t = Q r 3 - a 3 b 3 - a 3

    Assim, o campo elétrico neste caso será:

    E r = Q 4 π ϵ 0 r 2 r 3 - a 3 b 3 - a 3

    Passo 5

  • r < a :
  • Neste caso, a gaussiana não está englobando nenhuma parte casca esférica, logo:

    q i n t = 0

    E r = 0

    Passo 6

    d Calcule o potencial elétrico V r para a < r < b e para r < a .

    Ok, aqui vamos aplicar a relação abaixo que utilizamos no Passo 2 para esses dois casos, beleza?

    Δ V = - ∫ a b E → ∙ d r →

  • a < r < b :
  • Vimos no Passo 2 que precisamos de uma referência, um ponto onde saibamos o potencial, certo?

    Lá mesmo vimos que o potencial para r > b é dado por:

    V r = Q 4 π ϵ 0 r

    Assim, para r = b :

    V b = Q 4 π ϵ 0 b

    Opa, agora que já sabemos o potencial em r = b , podemos aplicar a nossa equação.

    V b - V r = - ∫ r b Q 4 π ϵ 0 r 2 r 3 - a 3 b 3 - a 3 d r

    Agora é resolver isso aos poucos, beleza?

    Q 4 π ϵ 0 b - V r = - Q 4 π ϵ 0 1 b 3 - a 3 ∫ r b r 3 - a 3 r 2 d r

    Q 4 π ϵ 0 b - V r = - Q 4 π ϵ 0 1 b 3 - a 3 ∫ r b r - a 3 r 2 d r

    Q 4 π ϵ 0 b - V r = - Q 4 π ϵ 0 1 b 3 - a 3 r 2 2 + a 3 r r b

    Q 4 π ϵ 0 b - V r = - Q 4 π ϵ 0 1 b 3 - a 3 b 2 2 + a 3 b - r 2 2 - a 3 r

    V r = Q 4 π ϵ 0 1 b 3 - a 3 b 2 2 + a 3 b - r 2 2 - a 3 r + Q 4 π ϵ 0 b

    Pronto! (Por increça que parível)

    Passo 7

  • r < a :
  • Show de bola, como agora estamos interessados em pontos em que r < a , vamos adotar como valor de referência o ponto r = a .

    Assim, utilizando a expressão que encontramos no Passo 6, teremos:

    V a = Q 4 π ϵ 0 1 b 3 - a 3 b 2 2 + a 3 b - a 2 2 - a 3 a + Q 4 π ϵ 0 b

    V a = Q 4 π ϵ 0 1 b 3 - a 3 b 2 2 + a 3 b - a 2 2 - a 2 + Q 4 π ϵ 0 b

    V a = Q 4 π ϵ 0 1 b 3 - a 3 b 2 2 + a 3 b - 3 a 2 2 + Q 4 π ϵ 0 b

    Utilizando a expressão para o potencial elétrico, e lembrando que para essa região E r = 0 , teremos:

    V a - V r = - ∫ r a 0   d r

    V a - V r = 0

    V r = V a

    V r = Q 4 π ϵ 0 1 b 3 - a 3 b 2 2 + a 3 b - 3 a 2 2 + Q 4 π ϵ 0 b

    Resposta

    a

    E r = Q 4 π ϵ 0 r 2

    V r = Q 4 π ϵ 0 r

    b

    ρ = 3 Q 4 π b 3 - a 3

    c

  • a < r < b :
  • E r = Q 4 π ϵ 0 r 2 r 3 - a 3 b 3 - a 3

  • r < a :
  • E r = 0

    d

  • a < r < b :
  • V r = Q 4 π ϵ 0 1 b 3 - a 3 b 2 2 + a 3 b - r 2 2 - a 3 r + Q 4 π ϵ 0 b

  • r < a :

V r = Q 4 π ϵ 0 1 b 3 - a 3 b 2 2 + a 3 b - 3 a 2 2 + Q 4 π ϵ 0 b

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