Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Ufpe - Física 3 – P1 2018.2 - 3

A figura abaixo ilustra um disco circular não-condutor oco, de raio interno a , raio externo b e centro O , que tem uma densidade superficial de carga constante + σ . O ponto P está localizado a uma distância z do ponto O e o segmento O P define o eixo de simetria que passa pelo centro do disco oco, sendo perpendicular ao plano do disco. Considere que o potencial elétrico é zero no infinito, ou seja, V z → ∞ = 0 . Nesta situação, calcule:

  1. O potencial elétrico V no ponto P .
  2. O vetor campo elétrico (módulo, direção e sentido) no ponto P .
  3. A energia potencial elétrica U adquirida por uma carga pontual – q que seja colocada no ponto O .

Passo 1

a) Para calcularmos o potencial no ponto P , temos que dividir o anel em várias faixas, cada uma com área infinitesimal d A , de raio r ( a < r < b ) e com carga infinitesimal d q , cada uma distante de D = r 2 + z 2 do ponto P .

Para encontrar o potencial total devido à carga + σ , temos que somar o potencial produzido por os elementos de carga d q = σ d A que estão espalhados sobre toda a área do anel, lembrando que precisamos escrever o elemento de área como d A = 2 π r d r . Isso significa que o potencial V ( P ) no ponto P será obtido a partir da seguinte integral

V P = 1 4 π ε 0 ∫ a b d q D = 1 4 π ε 0 ∫ a b σ ( 2 π r d r ) r 2 + z 2   ,

ou, ainda, como σ é constante em todo o anel, podemos simplificar a expressão acima para

V P = σ 2 ε 0 ∫ a b r d r r 2 + z 2     .

Aqui, para resolvermos essa integral, podemos utilizar a substituição simples u 2 = r 2 + z 2 ( r d r = u d u ) e teremos que:

V P = V ( z ) = σ 2 ε 0 b 2 + z 2 - a 2 + z 2   .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Como acabamos de ver das contas que fizemos, o potencial gerado por + σ no ponto P é uma função apenas da variável z . Portanto, como sabemos que o campo eletrostático é dado por

E → = - ∇ → V ,  

ou seja, é igual a menos o gradiente do potencial eletrostático, e o potencial é uma função só de z , o campo elétrico na direção z vai ser obtido fazendo a seguinte conta:

E → = - d V d z   z ^ = σ z 2 ε 0   1 a 2 + z 2 - 1 b 2 + z 2   + z ^ ,

que aponta na direção e sentido de + z ^ , já que a carga do anel é positiva, dada por + σ , e b > a .

Passo 3

c) A energia potencial elétrica de uma carga – q negativa colocada no ponto O será

U O = - q V O , = - q V z = 0 ,

em que V ( z = 0 ) é o potencial gerado por + σ na posição z = 0 . Portanto, substituindo z = 0 na expressão que encontramos para o potencial no Passo 1, teremos que

U z = 0 = - q σ b - a 2 ε 0   .

Resposta

  1. V P = V z = σ 2 ε 0 b 2 + z 2 - a 2 + z 2   ;
  2. E → = - d V d z   z ^ = σ z 2 ε 0   1 a 2 + z 2 - 1 b 2 + z 2   + z ^   ;
  3. U z = 0 = - q σ b - a 2 ε 0   .

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