Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Puc - Física 3 – P1 2018.2 - 3

R com densidade superficial de carga uniforme σ , e uma barra delgada de comprimento L com densidade linear de carga uniforme λ . Considere o potencial nulo no infinito e use V = ∫ d Q 4 π ε 0 r   .

O ponto P está sobre o eixo do disco à distância z de seu centro e, simultaneamente, sobre o eixo da barra, à distância b de sua extremidade mais próxima. (Nos itens ( a ) e ( b ) você pode escolher sistemas de coordenadas diferentes e convenientes a cada caso.)

  1. Considerando apenas o disco, calcule o potencial elétrico V D I S C O em P .
  2. Considerando apenas a barra, calcule o potencial elétrico V B A R R A em P .
  3. Considere, agora, outros dois pontos Q e S do espaço (não mostrados na figura). No ponto Q , os potenciais do disco e da barra, separadamente, possuem valor V Q , D I S C O = - 10,0   V e V Q , B A R R A = 13,0   V . No ponto S , os potenciais valem V S ,   D I S C O = - 6,0   V e V S , B A R R A = + 1,0   V . Na presença tanto do disco quanto da barra, uma partícula de massa m = 8,0 × 10 - 15   k g   e carga q = 2,0 × 10 - 9   C é abandonada a partir do repouso do ponto Q e, sob ação exclusivamente das forças elétricas, passa pelo ponto S .

  4. Calcule a velocidade v da partícula ao passar por S .

Passo 1

a) Para calcular o potencial devido ao disco, precisamos especificar o elemento de carga d Q para esse caso. Para esse caso, esse elemento infinitesimal de área será um retângulo de arestas r d θ e d r . Por isso, como a distribuição superficial de cargas é uniforme, então teremos

d Q = σ r d θ d r = σ r d r d θ   .

Portanto, temos duas variáveis de integração, r e θ , e por isso teremos que resolver uma integral dupla para encontrar o potencial total gerado pelo disco. Fazendo isso,

V D I S C O = ∫ 0 R ∫ 0 2 π σ r d r d θ 4 π ε 0 r 2 + z 2 = ∫ 0 R σ r d r ( 2 π ) 4 π ε 0 r 2 + z 2 = σ 2 ε 0 ∫ 0 R r d r r 2 + z 2   .

Resolvendo essa última integral, teremos que o potencial total gerado pelo disco no ponto P será igual a:

V D I S C O = σ 2 ε 0 R 2 + z 2 - z   .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Para encontrarmos o potencial que a barra gera em P , vamos olhar para a figura abaixo, em que desenhamos a barra isolada, com o sistema de referência mostrado na figura, e o elemento de carga d Q = λ d x a uma distância L + b - x do ponto P .

Baseado nisso, o potencial total gerado pela barra é

V B A R R A = ∫ 0 L λ d x 4 π ε 0 L + b - x = λ 4 π ε 0   ∫ 0 L d x L + b - x   .

Quando resolvemos essa integral, vamos obter

V B A R R A = λ 4 π ε 0 ln ⁡ L + b b   .

Passo 3

c) Como nosso problema se trata de interações eletrostáticas, temos forças conservativas e, portanto, a energia mecânica é conservada. Como a energia mecânica E m e c é a soma das energias cinética e potencial, ela terá o mesmo valor nos pontos Q e S:

E M e c = K Q + U Q = K S + U S   .

Podemos escrever a energia potencial como U = q V , e V é a soma dos potenciais nos pontos devidos à barra e ao disco nas posições Q e S .

No ponto Q , o potencial total será

V Q = V Q , D I S C O + V Q , B A R R A = - 10   V + 13   V = 3 V   ,

e no ponto S , será:

V S = V S , D I S C O + V S , B A R R A = - 6   V + 1   V = - 5   V   .

Como a carga q parte do repouso no ponto Q , então:

K Q = m v Q 2 2 = 0   .

Portanto, teremos o seguinte

K S = m v S 2 2 = q V Q - q V S = q V Q - V S .

A velocidade da carga ao passar pelo ponto S vai ser igual a

v s = 2 q V Q - V S m   = 2000   m s   .

Resposta

  1. V D I S C O = σ 2 ε 0 R 2 + z 2 - z   ;  
  2. V B A R R A = λ 4 π ε 0 ln ⁡ L + b b ;
  3. v s = 2 q V Q - V S m   = 2000   m s   .

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