Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Um cilindro muito longo maciço condutor, de raio R e densidade de carga por unidade de comprimento λ > 0 , é concêntrico a uma camada cilíndrica condutora carregada com a mesma carga total do cilindro, em módulo, e sinal oposto.

Essa camada tem raio interno 2 R e raio externo 3 R , como mostra a figura.

a Determine o campo elétrico para as regiões R < r < 2 R e r > 3 R .

b Determine a diferença de potencial entre os pontos r = 0 e r = 3 R , ou seja, V r = 0 - V r = 3 R .

Passo 1

a Determine o campo elétrico para as regiões R < r < 2 R e r > 3 R .

Para determinar o campo elétrico, vamos usar a Lei de Gauss, dada por:

∯ G E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Para isso, vamos selecionar uma gaussiana com a mesma simetria do corpo em questão, logo, com simetria cilíndrica.

Assim, usando com gaussiana um cilindro com um raio aleatório r , teremos:

E r . 2 π r L = Q i n t ϵ 0

E r = Q i n t 2 π ϵ 0 r L

Onde L corresponde ao comprimento do fio.

Assim, para cada região, basta determinar quanto vale a carga Q i n t no interior da gaussiana.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

- R < r < 2 R :

A gaussiana com o raio entre R e 2 R engloba somente o fio com densidade de carga por unidade de comprimento λ > 0 , logo, utilizando a definição de densidade linear de carga, teremos:

λ = Q i n t L → Q i n t = λ L

Assim, substituindo na expressão que encontramos no Passo 1, teremos:

E r = λ L 2 π ϵ 0 r L

E r = λ 2 π ϵ 0 r

- r > 3 R :

Agora a gaussiana engloba tanto o cilindro, quanto a camada cilíndrica. Como o cilindro e a camada cilíndrica possuem cargas de mesmo módulo, mas com sinais opostos, a carga total no interior da gaussiana será:

Q i n t = λ L - λ L

Q i n t = 0

Assim, o campo elétrico nessa região será:

E r = 0 2 π ϵ 0 r L

E r = 0

Passo 3

(b) Determine a diferença de potencial entre os pontos r = 0 e r = 3 R , ou seja, V r = 0 - V r = 3 R .

Show de bola! Para calcular os potenciais nesses pontos vamos usar a seguinte relação:

V b - V a = - ∫ a b E → . d r →

Como essa equação calcula uma diferença de potencial entre dois pontos, precisamos de um ponto de referência. Esse ponto de referência costuma ser o infinito, onde V ∞ = 0 .

- r > 3 R :

Nessa região, o campo elétrico é nulo, logo:

V ∞ - V r = - ∫ r ∞ 0   d r

0 - V r = 0

V r = 0

Opa! Podemos agora calcular o potencial para r = 3 R .

V r = 3 R = 0

Ok, vamos continuar analisando cada região do espaço, sempre “em direção ao centro do fio”.

Passo 4

- 2 R < r < 3 R :

Essa região corresponde ao interior da camada cilíndrica condutora, e o campo elétrico no interior de um condutor é sempre nulo.

Além disso, agora vamos usar como ponto de referência o ponto r = 3 R , já que acabamos de calcular o potencial V r = 3 R .

Logo:

V r = 3 R - V r = - ∫ r 3 R 0   d r

0 - V r = 0

V r = 0

Agora podemos calcular o potencial para r = 2 R , logo:

V r = 2 R = 0

Passo 5

- R < r < 2 R :

Agora o campo elétrico varia com r de acordo com a equação que encontramos no Passo 2:

E r = λ 2 π ϵ 0 r

Assim, para essa região, teremos:

V r = 2 R - V r = - ∫ r 2 R λ 2 π ϵ 0 r d r

0 - V r = - λ 2 π ϵ 0 ∫ r 2 R d r r

- V r = - λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ 2 R r

V r = λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ 2 R r

Para r = R , temos que:

V r = R = λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ 2 R R

V r = R = λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ 2

Passo 6

- r < R :

Essa região corresponde ao interior do fio cilíndrico condutor. Opa! Como esse fio também é condutor, o campo elétrico no seu interior será nulo. Logo:

V r = R - V r = - ∫ r R 0   d r

λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ 2 - V r = 0

V r = λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ 2

Finalmente, o potencial para r = 0 será:

V r = 0 = λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ 2

Passo 7

Agora podemos finalmente calcular a diferença que o problema nos pediu!

V r = 0 - V r = 3 R = λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ 2 - 0

V r = 0 - V r = 3 R = λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ 2

Resposta

a)

-   R < r < 2 R :

E r = λ 2 π ϵ 0 r

- r > 3 R :

E r = 0

b)

V r = 0 - V r = 3 R = λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ 2

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