Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Potencial Elétrico

Denomina-se coroa anular um disco fino de raio externo R 2 com buraco circular concêntrico de raio interno R 1 como mostrado em figura. Uma coroa anular possui uma densidade superficial de carga σ sobre sua superfície ( σ < 0 ) .

a ) Determine a carga total Q sobre a coroa anular.

b ) A coroa anular está sobre um plano y x com seu centro na origem. Para um ponto arbitrário P sobre o eixo O x (eixo de simetria da coroa anular), determine o potencial V ( P ) (Sugestão: calcule o potencial devido a um anel de raio r e espessura d r compreendido entre R 1 e R 2 e depois extenda o resultado para a coroa anular.)

c ) Calcule agora o campo elétrico E → (módulo, direção e sentido) no ponto P .

d ) Uma carga positiva puntiforme q é inicialmente colocada a repouso no ponto P e a seguir liberada. Qual será a energia cinética T desta carga quando passa no centro O da coroa anular? (Considere neste item R 1 = a ; R 2 = 4 a ; x = 3 a )

Passo 1

a )

Para determinar a carga da coroa, basta lembrar da definição de densidade superficial:

σ = Q A

Substituindo os valores, temos:

σ = Q π . R 2 2 - R 1 2

Q = σ . π . R 2 2 - R 1 2

Onde σ < 0 , portanto, Q < 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Para calcular o potencial gerado pela coroa em qualquer ponto do eixo x , devemos primeiro calcular o potencial geral por um anel de espessura infinitesimal, temos então:

d V = k . d q r 2 + x 2

Onde d q = 2 . π . r . σ . d r , substituindo:

d V = 2 . π . r . k . σ . d r r 2 + x 2

Agora basta integrar de R 1 até R 2 :

V x = ∫ 2 . π . r . k . σ . d r r 2 + x 2

V x = 2 . π . k . σ ∫ R 1 R 2 r . d r r 2 + x 2

V x = 2 . π . k . σ . ( r 2 + x 2 R 1 R 2

V x = 2 . π . k . σ .   R 2 2 + x 2 - R 1 2 + x 2

Passo 3

c )

Para determinar o campo elétrico, precisamos lembrar da seguinte relação:

E → = - ∇ V

Por simetria, vemos que o campo elétrico possui apenas componente x , temos então:

E → = - ∂ V ∂ x   ( i ^ )

Derivando, temos:

E → x = - 2 . π . k . σ . x . 1 R 2 2 + x 2 - 1 R 1 2 + x 2

Passo 4

d )

Para determinar a energia cinética, devemos utilizar a conservação da energia mecânica. No repouso, temos apenas a energia potencial elétrica, quando a carga passa pelo centro, teremos energia cinética e energia potencial elétrica, ou seja:

U i = T + U f

T = - Δ U

Lembrando que:

Δ U = q . Δ V

Agora, precisamos determinar a variação de potencial, considerando R 1 = a ; R 2 = 4 a ; x = 3 a

Δ U = q . 2 . π . k . σ .   16 . a 2 - a 2 - 2 . π . k . σ .   16 . a 2 + 9 . a 2 - a 2 + 9 . a 2

Δ U = q . 2 . π . k . σ ( 3 . a - 5 a + 10 a )

Δ U = - q . 2 . π . k . σ . a 2 - 10

Portando, a energia cinética ao passar no ponto x = 0 , é:

T = - Δ U

T = q . 2 . π . k . σ . a 2 - 10

Resposta

a ) Q = σ . π . R 2 2 - R 1 2

b ) V x = 2 . π . k . σ .   R 2 2 + x 2 - R 1 2 + x 2

c ) E → x = - 2 . π . k . σ . x . 1 R 2 2 + x 2 - 1 R 1 2 + x 2

d ) T = q . 2 . π . k . σ . a 2 - 10

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