Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Uma barra isolante fina de comprimento L é posicionada sobre o eixo X   de um sistema de coordenadas, como mostrado na figura abaixo. Suas extremidades estão nos pontos x = 0 e x = L . Ela encontra-se carregada com uma densidade linear de carga estacionária, mas não-uniforme dada por λ x = λ 0 x L , onde λ 0 e uma constante positiva.

(a) Determine a carga total contida na barra.

(b) Determine o potencial elétrico produzido pela barra em um ponto P sobre o eixo Y , localizado a uma distância y acima da extremidade esquerda da barra. Considere que o potencial é nulo em um ponto infinitamente afastado da barra.

(c) A componente E x do campo elétrico no ponto P pode ser obtida a partir do potencial obtido no item anterior? Justifique.

Passo 1

a) Vamo lá, nesse primeiro item a gente quer saber qual é a carga total da barra.

Pra isso, vamos pegar um elemento infinitesimal com carga d q , esse elemento estará a uma distância x da extremidade esquerda da barra. Como temos uma densidade de cargas na barra, a gente sabe que d q = λ x d x .

Então a carga Q da barra vai ser

Q = ∫ d q

Q = ∫ 0 L λ x d x

Q = ∫ 0 L λ 0 x L d x

Q = λ 0 1 L ∫ 0 L x   d x

Q = λ 0 L 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Vamos começar relacionando o elemento de carga d q (aquele do item anterior) ao ponto P . Fazendo Pitágoras, a gente sabe que a distância entre esses dois caras é r = x 2 + y ² .

A contribuição do elemento d q no potencial elétrico é

d V = k 0 d q r

d V = k 0 λ x d x x 2 + y ²

d V = k 0 λ 0 x L d x x 2 + y ²

Então, pra encontrarmos o potencial V no ponto P , vamos integrar o d V

V = ∫ d V

V = ∫ 0 L k 0 λ 0 x L d x x 2 + y ²

V = λ 0 k 0 L ∫ 0 L x d x x 2 + y ²

O resultado dessa integral cabeluda foi dado no formulário da prova, ela vai ficar assim

V = λ 0 k 0 L ( L 2 + y 2 - y )

Passo 3

c) Não é possível calcularmos E x a partir de V do item anterior. Repare que a expressão de V contém apenas relações a pontos do eixo y , ou seja, a gente não consegue analisar como o potencial varia de acordo com x e consequentemente não é possível estudar a variação de E x a partir de V .

Resposta

  1. Q = λ 0 L 2
  2. V = λ 0 k 0 L ( L 2 + y 2 - y )
  3. Não é possível calcularmos E x a partir de V do item anterior. Repare que a expressão de V contém apenas relações a pontos do eixo y , ou seja, a gente não consegue analisar como o potencial varia de acordo com x e consequentemente não é possível estudar a variação de E x a partir de V .

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