Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

PUCRIO-P1-2015.1-2

Considere um anel não-condutor situado no plano y z de raio interno a e raio externo b com uma densidade superficial de carga uniforme σ , como pode ser observado na figura.

a ) Calcule o potencial elétrico gerado por esta distribuição no ponto P , a uma distância d sobre o eixo x indicado na figura.

b ) A partir do resultado do item a , encontre o campo elétrico (modulo, direção e sentido) no ponto P .

c ) Calcule o trabalho realizado para trazer uma carga puntiforme Q 0 do infinito até o ponto P .

Passo 1

a ) Calcule o potencial elétrico gerado por esta distribuição no ponto P , a uma distância d sobre o eixo x indicado na figura.

Vamos começar considerando um potencial d V gerado por um pedaço infinitesimal do disco de carga d q , de forma que:

d q = σ d A

Assim, o potencial d V será dado por:

d V = 1 4 π ϵ 0 d q r

Pra diferenciar a distância r ao ponto P e o raio do disco, vamos chamar o raio do disco de w , beleza?

Continuando...

A áera do disco é dada por A = π w 2 , logo, d A = 2 π w   d w .

d q = 2 π σ w   d w

d V = 2 π σ 4 π ϵ 0 w   d w r

d V = σ 2 ϵ 0 w   d w r

Graficamente, a ideia é essa:

Onde:

r = w 2 + d 2

Substituindo de volta na expressão de d V :

d V = σ 2 ϵ 0 w   d w w 2 + d 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra finalizar, só temos que integrar esse cara em relação a w , onde a ≤ w ≤ b :

V = σ 2 ϵ 0 ∫ a b w w 2 + d 2   d w

Essa é uma integral que não é difícil de resolver, mas que você não precisa se preocupar, porque a resposta dela provavelmente vai estar no seu formulário, então é só dar uma olhada.

V = σ 2 ϵ 0 w 2 + d 2 a b

Substituindo os limites de integração:

V = σ 2 ϵ 0 b 2 + d 2 - a 2 + d 2

Passo 3

b ) A partir do resultado do item a , encontre o campo elétrico (modulo, direção e sentido) no ponto P .

Antes de começarmos a pensar nas contas, vamos dar uma olhada na geometria do problema... pegando dois pontos equidistantes do ponto P , vamos ver o que acontece com o campo elétrico.

Como podemos ver, campo elétrico vai sempre se cancelar na direção paralela ao plano do disco, isso significa que temos apenas campo elétrico no sentido x ^ .

Utilizando o resultado da letra a , o potencial elétrico em um ponto a uma distância x do disco é:

V = σ 2 ϵ 0 b 2 + x 2 - a 2 + x 2

Por definição:

E = - ∂ V ∂ x

Portanto:

E = - σ 2 ϵ 0 2 x 2 b 2 + x 2 - 2 x 2 a 2 + x 2

E = - σ 2 ϵ 0 x b 2 + x 2 - x a 2 + x 2

E = - σ x 2 ϵ 0 1 b 2 + x 2 - 1 a 2 + x 2

E = σ x 2 ϵ 0 1 a 2 + x 2 - 1 b 2 + x 2

Finalmente, o campo elétrico em um ponto a uma distância x do disco é:

E → = σ x 2 ϵ 0 1 a 2 + x 2 - 1 b 2 + x 2 x ^

No ponto P , x = d , logo:

E → = σ d 2 ϵ 0 1 a 2 + d 2 - 1 b 2 + d 2 x ^

Passo 4

c ) Calcule o trabalho realizado para trazer uma carga puntiforme Q 0 do infinito até o ponto P .

Essa é a mais tranquila... por definição:

Δ W = W P - W ∞

Δ W = Q 0 V P - Q 0 V ∞

No infinito V ∞ = 0 . Portanto:

Δ W = Q 0 V P

Substituindo a expressão de V que encontramos na letra a :

Δ W = σ Q 0 2 ϵ 0 b 2 + d 2 - a 2 + d 2

Resposta

a )

V = σ 2 ϵ 0 b 2 + d 2 - a 2 + d 2

b )

E → = σ d 2 ϵ 0 1 a 2 + d 2 - 1 b 2 + d 2 x ^

c )

Δ W = σ Q 0 2 ϵ 0 b 2 + d 2 - a 2 + d 2

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