Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

UFRJ- Física 3 – SC 2018.2 - DIURNO - 2

Um cilindro condutor maciço, infinito, de seção transversal circular de raio R possui uma densidade superficial de carga σ constante e positiva. Ele se encontra em equilíbrio eletrostático.

  1. Determine o vetor campo elétrico produzido pelo cilindro em um ponto a uma distância s de seu eixo. Considere os casos dentro e fora do cilindro.
  2. Determine o potencial elétrico produzido pelo cilindro no mesmo ponto. Considere que o potencial vale V 0 > 0 sobre a superfície do cilindro.

Passo 1

a) A primeira coisa aqui é notarmos que o cilindro é condutor e está em equilíbrio eletrostático, o que significa que as cargas que ele possui estarão localizadas todas sobre a sua superfície e o campo elétrico em todos os pontos dentro do cilindro será zero:

E → = 0     ;   s < R   .

Depois, outra informação muito importante, é que o cilindro está uniformemente carregado e é infinito. Isso significa que a distribuição de cargas tem simetria cilíndrica. Então, se transladarmos o cilindro ao longo do eixo longitudinal dele e fizermos uma rotação em torno desse eixo, a distribuição de cargas permanece exatamente a mesma.

Essas características da simetria cilíndrica da distribuição de cargas garantem algumas propriedades para o campo elétrico gerado por ela. A primeira delas é que o campo elétrico não depende de z , posição ao longo do eixo Z por onde passa o eixo longitudinal do cilindro, e também não depende do ângulo ϕ de rotação em torno desse eixo.

O campo elétrico vai depender apenas da distância perpendicular s até o eixo do cilindro e vai apontar ao longo da direção radial  s ^ . Ou seja, o vetor campo elétrico vai ser do tipo:

E → = E s s ^   .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a) Continuação...

Vamos utilizar a lei de Gauss, que diz o seguinte:

Φ E = ∮ G E → ⋅ d S → = Q i n t ε 0   ,

em que Q i n t é a carga total que está dentro da superfície gaussiana G .

Para encontrar a expressão para o módulo E ( s ) do campo, precisamos escolher uma superfície gaussiana conveniente, que será nossa superfície fechada. Nesse caso, vamos tomar um cilindro de raio s > R e comprimento L concêntrico ao cilindro condutor.

Como é uma superfície fechada, então precisamos analisar o fluxo do campo elétrico através de toda a superfície fechada, ou seja, através de sua área lateral e também através da área das tampas. Mas algumas coisas se simplificam nessa nossa análise.

Como sempre devemos colocar o vetor área  d A → perpendicular à superfície, lateral ou das tampas, e apontando para fora dela e o campo elétrico é sempre perpendicular ao fio, então o fluxo elétrico através das tampas será nulo, já que ele é perpendicular a  d A → nas tampas. Por isso, basta olharmos para o fluxo através da superfície lateral do nossa gaussiana cilíndrica.

Bom, como discutimos, o elemento de área lateral é escrito como  d A → l a t = d A l a t   s ^ e o campo como  E → = E s   s ^ . Por isso, o fluxo do campo elétrico será

∮ G E → ⋅ d A → l a t = ∮ G E s d A l a t = σ 2 π R L ε 0   ,

em que Q i n t = σ ( 2 π R L ) é a carga que está dentro da superfície gaussiana.

Agora, como o campo elétrico tem o mesmo valor em todos os pontos da superfície lateral da gaussiana, podemos colocar E ( s ) para fora da integral e obter:

∮ G E ( s ) d A = E s 2 π s L = σ ( 2 π R L ) ε 0       ⇒     E s = σ R ε 0 s   .

Portanto, o vetor campo elétrico é representado como:

E → = σ R ε 0 s   s ^     ;     s > R   .

Passo 3

b) Para calcularmos a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer a e b , temos que aplicar a seguinte relação:

V a - V b = ∫ a b E → ⋅ d l →   .

Se a e b são dois pontos quaisquer dentro do condutor, onde   E → = 0 , então:

V a = V b = c o n s t a n t e   ,

ou seja, o potencial é constante dentro do condutor. Mas como o potencial na superfície é igual a V 0 , então, dentro do condutor,

V a = V b = V 0   ,

mostrando que o potencial dentro do condutor é constante e igual ao potencial de sua superfície, que vale V 0 .

Passo 4

b) Continuação...

Vamos ver como fica o potencial fora do condutor, ou seja, em pontos a um distância s > R . Para pontos dessa região, encontramos que o campo elétrico é dado por

E → = σ R ε 0 s   s ^   .

Para calcularmos o potencial, podemos escolher o elemento de comprimento como sendo paralelo ao campo elétrico ao longo da direção radial, ou seja,   d l → = d s   s ^ .

Tomando o ponto a como sendo um ponto arbitrário sobre a superfície do cilindro, então V a ≡ V 0 e V b ≡ V ( s ) o potencial para s > R , então:

V 0 - V ( s ) = ∫ R s E s ' d s ' = σ R ε 0 ∫ R s d s ' s '   ,    

que vai resultar em

V s = V 0 - σ R ε 0 ln ⁡ s R     ;     s > R   .

Resposta

  1. E → = 0     s < R ;   E → = σ R ε 0 s   s ^     s > R   ;  
  2. V a = V b = V 0   s ≤ R     ;     V s = V 0 - σ R ε 0 ln ⁡ s R   ( s > R   ) .

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