Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

A figura abaixo mostra duas distribuições de carga isoladas. Na esquerda, um anel circular fino, isolante, de raio R , encontra-se uniformemente carregado e possui uma carga total Q . Na direita, uma coroa circular fina, isolante, de raio interno a e raio externo b > a encontra-se uniformemente carregada com uma densidade superficial de carga σ . Em ambas as situações, considere que o potencial elétrico produzido por cada uma das distribuições é nulo em um ponto infinitamente afastado delas. Considere ainda que o eixo Z é perpendicular ao plano definido por cada distribuição e passa pelo centro delas.

(a) Determine o potencial elétrico produzido pelo anel em um ponto P sobre o eixo   Z , localizado a uma distância z do centro do anel.

(b) Determine o potencial elétrico produzido pela coroa em um ponto P sobre o eixo Z , localizado a uma distância z do centro da coroa.

Sugestão: Divida a coroa em aneis infinitesimais concêntricos e utilize o resultado do item anterior.

(c) Obtenha uma expressão assintótica para o potencial encontrado no item (b) no limite em que o ponto P está muito distante do centro da coroa, de forma que   z ≫ b . Interprete o resultado.

Passo 1

a)Podemos lembrar (ou olhar no formulário da prova hihi) que o potencial elétrico é

V = k 0 q r

Vamos então considerar um elemento de carga infinitesimal d q sobre o anel.

Se a gente fizer pitágoras olhando a figura do enunciado, esse elemento vai estar a uma distância r = R 2 + z ² do ponto P . LEMBRANDO QUE qualquer elemento d q do anel vai ter a mesma distância até o ponto P . Sendo assim, o potencial elétrico nesse ponto infinitesimal vai ser

d V = k 0 d q R 2 + z ²

Agora vamos integrar para obter V

V = ∫ k 0 d q R 2 + z ²

V = k 0 1 R 2 + z ² ∫ d q

V = k 0 Q R 2 + z ²

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Passo 2

b) Agora a gente quer o potencial elétrico produzido pela COROA. Dessa vez, vamos escolher como elemento de carga infinitesimal um anel de raio r e espessura infinitesimal d r com o mesmo centro da coroa. Se pegarmos o resultado do item a e substituímos Q por d q e R por r , vamos ter o d V da coroa:

d V = k 0 d q r 2 + z ²

Bem, sabemos que a coroa está uniformemente carregada com densidade superficial de carga σ , então como vai ser o nosso d q ? Vamos lá

d q = σ d A

d q = σ 2 π r d r

Mais simples do que parece né? Agora bora substituir no d V

d V = k 0 σ 2 π r d r r 2 + z ²

Agora, como se trata de uma coroa, vamos integrar de a até b para encontrarmos V

V = ∫ a b k 0 σ 2 π r d r r 2 + z ²

V = k 0 σ 2 π ∫ a b r d r r 2 + z ²

“Mas credo!! Que integral difícil pra resolver no meio da prova!!” Relaaaxa que o resultado dela também ta lá no formulário da prova :)

V = k 0 σ 2 π ( b 2 + z 2 - a 2 + z 2 )

Se lembrarmos que k 0 = 1 4 π ε 0 , ainda podemos escrever como

V = σ 2 ε 0 ( b 2 + z 2 - a 2 + z 2 )

Passo 3

c) Vamos começar reescrevendo o potencial elétrico da coroa (obtido no item b) assim:

V = σ z 2 ε 0 ( 1 + b 2 / z 2 - 1 + a 2 / z 2 )

Como z ≫ b , vamos utilizar a expressão binomial que está no formulário para reescrever a expressão acima como

V ≈ σ z 2 ε 0 ( 1 + b 2 2 z 2 - ( 1 + a 2 2 z 2 ) )

V ≈ σ z 2 ε 0 b 2 - a ² 2 z ²

V ≈ σ ( b 2 - a 2 ) 4 ε 0 z

Multiplicando o numerador e o denominador por π , temos que

V ≈ σ π ( b 2 - a 2 ) 4 ε 0 z π

Mas peraí, a carga total Q c da coroa é σ π ( b 2 - a 2 ) , então vamos substituir no numerador :D

V ≈ Q c 4 ε 0 z π

Resposta

a) V = k 0 Q R 2 + z ²

b) V = σ 2 ε 0 ( b 2 + z 2 - a 2 + z 2 )

c) V ≈ Q c 4 ε 0 z π

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