Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

UFRJ- Física 3 – P1 2018.2 - DIURNO - 6

Considere uma esfera S , de raio R , uniformemente carregada com densidade volumétrica de carga positiva. Considere também três pontos no espaço, A , B e C , onde os potenciais elétricos valem V A , V B e V C , respectivamente. Se A está no interior da esfera, B sobre sua superfície, e C em seu exterior, temos, necessariamente,

  1. V A > V B < V C
  2. V A < V B < V C
  3. V A = V B > V C
  4. V A = V B < V C
  5. V A < V B > V C
  6. V A > V B > V C

Passo 1

Para matarmos essa questão, vamos considerar a superfície gaussiana esférica concêntrica à esfera S e com raio r < R , que está desenhada na figura abaixo.

Como a esfera está uniformemente carregada com densidade de carga volumétrica positiva + ρ , isso significa que, dentro da gaussiana, teremos um carga de

Q i n t = ρ 4 π r 3 3 > 0   .  

Por outro lado, como temos simetria esférica, o campo elétrico produzido por Q i n t , que está apontando para fora da gaussiana, é paralelo ao vetor infinitesimal de área  d A → em todos os pontos da superfície gaussiana. Além disso, o módulo desse campo depende apenas da distância r ao centro e, por essa razão, tem o mesmo valor em todos os pontos da superfície gaussiana.

Colocando tudo isso dentro da lei de Gauss, teremos que

∮ G E → ⋅ d A → = ∮ G E r d A = E r ∮ G d A = E r 4 π r 2 = 4 π r 3 ρ 3 ε 0   ,

que vai dar um módulo do campo elétrico de Q i n t igual a

E r = ρ r 3 ε 0     ⇒     E → = ρ r 3 ε 0 r ^     ;   r < R   .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Uma vez que temos  E → , podemos calcular a diferença de potencial entre V A ≡ V ( r < R ) e V B ≡ V ( r = R ) através da expressão:

V A - V B = V r < R - V r = R = ∫ r R E → ⋅ d l →   .

Como   d l → pode qualquer caminho ligando os pontos A e B , podemos escolher   d l → = d r   r ^ , que é paralelo ao vetor  E → .

Com isso e substituindo  E → que encontramos no Passo 1, vamos ter

V A - V B = ρ 3 ε 0 ∫ r R r ' d r '     ⇒     V A - V B = ρ R 2 - r 2 6 ε 0   .

Dessa expressão, tiramos que

V B = V A - ρ R 2 - r 2 6 ε 0         ⇒       V A > V B   ,

já que r < R para este caso.

Passo 3

Para r > R , a carga total dentro da gaussiana esférica de raio r é

Q i n t = 4 π ρ R 3 3   ,

enquanto que o lado esquerdo da lei de Gauss vai dar o mesmo resultado que encontramos no Passo 1: E r ( 4 π r 2 ) . Portanto, o campo elétrico será

E → = ρ R 3 3 ε 0 r 2 r ^   .

Agora, como fizemos no caso do Passo 2, vamos tomar a diferença de potencial entre os potenciais V B ≡ V r = R e V C ≡ V ( r > R ) , que será

V r = R - V r > R = ∫ R r E r ' d r ' ,

em que fizemos, como no Passo 2:  d l → = d r '   r ^ . Com isso, vamos ter

V B - V C = ρ R 3 3 ε 0 1 R - 1 r     ⇒     V C = V B - ρ R 3 3 ε 0 r - R r R     .

Como estamos olhando para a região em que r > R , a última expressão acima mostra

V B > V C   .  

Com isso a gente fecha o problema e podemos comparar os potenciais da seguinte maneira:

V A > V B > V C   .

Resposta

Letra f.

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