Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Entre as duas cascas esféricas delgadas condutoras concêntricas da figura não há nenhum contato elétrico. A casca interna possui raio r e carga q e a casca externa possui raio R e carga Q . Considerando o referencial para potenciais nulos no infinito, sabe-se que o potencial na casca maior vale V 1 e na casca menor vale V 2 .

d) Calcule V 2 - V 1 em função de q , Q , r , R e da constante de Coulomb k .

Passo 1

Vamos usar a relação V = - ∫ E   d r para encontrar V 1 , V 2 e V 2 - V 1 . Para isso vamos utilizar uma superfície gaussiana esférica de raio s .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Definindo V 1 :

V 1 = - ∫ ∞ R E s d s ,   s > R

O campo elétrico E ( s ) vai ser

E s 4 π s ² = Q i n t ε 0

Nesse caso, a carga dentro da superfície gaussiana vai ser Q + q , logo

E s = Q + q 4 π s ² ε 0

E s = k ( Q + q ) s ²

Substituindo em V 1 :

V 1 = - ∫ ∞ R k ( Q + q ) s ² d s

V 1 = - k ( Q + q ) ∫ ∞ R 1 s ² d s

V 1 = k Q + q R

Passo 3

Agora vamos encontrar V 2 :

V 2 = - ∫ R r E s d s ,   r < s < R

O campo elétrico vai ser

E s 4 π s ² = q ε 0

E s = k q s ²

Então

V 2 = - ∫ R r k q s ² d s

V 2 = - k q - 1 r + 1 R

Passo 4

Então, V 2 - V 1 vai ser

- k q - 1 r + 1 R - k Q + q R

Resposta

- k q - 1 r + 1 R - k Q + q R

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