Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Elaboração Própria

Dado uma esfera condutora de raio a e carga Q envolta por uma casca esférica condutora neutra de raios interno e externo iguais a b e c . Dado que o potencial no infinito é nulo, calcule o potencial em cada região:

  • r < a
  • r ∈ a , b
  • r ∈ b , c
  • r > c

Passo 1

Como estamos com um problema de achar o potencial de uma distribuição de cargas que aparentemente morre com Lei de Gauss, vamos preferir usar a fórmula:

Δ V = - ∫ C   E → ∙ d r →

Escolhendo um caminho C radial, porque é mais fácil de fazer a conta. Afinal, o caminho não importa, certo?

Então a primeira coisa é achar o campo E → em todas as regiões. Fazendo a Lei de Gauss...

∯ G E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Pela simetria esférica do problema, escolhemos uma superfície esférica de raio arbitrário r para ser nossa Gaussiana G . Dessa forma, os vetores normais d A → são paralelos ao campo em todos os pontos de G , do que segue o fato:

E → ∙ d A → = E d A

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Além disso, pela configuração do campo, temos que o seu módulo E → é constante em toda G , do que segue o fato:

∯ G E d A = E ∯ G d A

Da última equação, segue que a integral de d A em toda G é a área da Gaussiana. A área superficial de uma esfera é conhecida e é igual à:

∯ G d A = 4 π r 2

Substituindo na Lei, temos:

E 4 π r 2 = Q i n t ϵ 0

E = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2

Passo 3

Vamos matar todas as regiões então. Na região r < a , temos a parte maciça de um condutor, portanto:

E → = 0

Na parte de r ∈ [ a , b ] estamos fora da esfera, logo a carga total é Q :

Q i n t = Q

E → = Q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

Na parte em que r ∈ [ b , c ] estamos dentro da casca esférica. Só que como ela é condutora, não temos campo:

E → = 0 →

Já na região r > c é só ver o quanto de carga total nós temos, que no caso é só proveniente da esfera:

Q i n t = Q

Portanto:

E → = Q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

Passo 4

Agora vamos fazer a conta partindo de um lugar cujo potencial nós conhecemos. No caso o enunciado nos deu o potencial no infinito, então vamos começar nosso caminho partindo de lá para algum ponto em que r > c :

V r - V ∞ = - ∫ ∞ r E → ∙ d r →

Plugando o campo correspondente à região r > c na equação:

V r = - ∫ ∞ r Q 4 π ϵ 0 r ' 2 d r '

V r = - Q 4 π ϵ 0 ∫ ∞ r d r ' r ' 2

Que resulta em:

V r = Q 4 π ϵ 0 r

Ou seja, mesma coisa que a carga pontual.

Passo 5

Agora vamos partir para a região r ∈ b , c , que tem outra expressão do campo elétrico. A parada é partirmos de um ponto onde conhecemos o potencial, mas como obtivemos a expressão do potencial no passo anterior, podemos usá-la.

V r - V c = - ∫ c r E → ∙ d r →

CUIDADO com os limites de integração! Plugando o campo e o potencial conhecidos:

V c = Q 4 π ϵ 0 c

V r - Q 4 π ϵ 0 c = - ∫ c r 0 × d r '

Fazendo:

V r - Q 4 π ϵ 0 c = 0

Logo:

V r = Q 4 π ϵ 0 c

Passo 6

Partindo agora de um ponto na superfície em que r = b vamos para a região r ∈ [ a , b ] . O potencial nesse ponto é só substituir na expressão encontrada anteriormente, ou perceber que não depende de r :

V b = Q 4 π ϵ 0 c

Logo, integramos novamente:

V r - Q 4 π ϵ 0 c = - Q 4 π ϵ 0 ∫ b r d r ' r ' 2

V r - Q 4 π ϵ 0 c = Q 4 π ϵ 0 r - Q 4 π ϵ 0 b

V r = Q 4 π ϵ 0 1 r + 1 c - 1 b

Passo 7

Mesma coisa, só que agora partindo da superfície r = a , e vamos para r < a :

V a = Q 4 π ϵ 0 1 a + 1 c - 1 b

V r - Q 4 π ϵ 0 1 a + 1 c - 1 b = - ∫ a r 0 × d r '

V r - Q 4 π ϵ 0 1 a + 1 c - 1 b = 0

V r = Q 4 π ϵ 0 1 a + 1 c - 1 b

Resposta

V r = Q 4 π ϵ 0 1 a + 1 c - 1 b ,       r < a Q 4 π ϵ 0 1 r + 1 c - 1 b ,       r ∈ a , b Q 4 π ϵ 0 c ,       r ∈ b , c Q 4 π ϵ 0 r ,       r > c

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