Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Potencial Elétrico

Dois anéis circulares, de mesmo raio L , perpendiculares ao eixo O x , tem seus centros em x = - L e x = L . Ambos possuem a mesma carga total Q , uniformemente distribuída.

  1. Determine o potencial elétrico devido aos anéis, em um ponto genérico do eixo O x , com abscissa x , tomando tal potencial como zero no infinito ( x → ∞ ).
  2. Usando o potencial do item (a), determine o campo elétrico devido aos anéis, no mesmo ponto supracitado.
  3. Considere agora uma partícula de carga q , ainda no mesmo ponto supracitado. Determine a energia potencial associada à interação dessa partícula com o campo elétrico produzido pelos anéis!

Passo 1

Como estamos tratando de anéis, a boa aqui é integral do potencial infinitesimal:

V = ∫ d V

A expressão para ele nós temos da carga pontual:

d V = k d q r

Vamos fazer integrais separadas para cada anel. Para o de centro em - L temos:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como o triângulo verde é retângulo no vértice em que está x = - L , jogamos o Pitágoras: r = L 2 + x + L 2

Note como a distância é a mesma para todos os pontos do anel. Isso facilita a integral demaaaaais:

V - L = ∫ a n e l   k d q L 2 + x + L 2

V - L = k L 2 + x + L 2 ∫ a n e l   d q

Passo 3

Integrando infinitesimais d q em todo o anel obtemos a carga total deste:

V - L = k L 2 + x + L 2 Q

Pela mesma lógica fazemos para o anel de centro em x = L . Neste caso temos:

r = L 2 + x - L 2

V + L = k L 2 + x - L 2 ∫ a n e l   d q

V + L = k L 2 + x - L 2 Q

O potencial total é só a soma dos potenciais:

V = V - L + V + L

V = k Q L 2 + x + L 2 + k Q L 2 + x - L 2

Fim de papo.

Passo 4

Dado que temos o potencial, achar o campo é moleza!!! Basta usar a fórmula do bem:

E → = - ∇ V

Onde o triangulo de cabeça pra baixo é o nosso operador de derivadas parciais:

∇ = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z

Fazendo isso para o potencial, temos:

E x = - ∂ V ∂ x

E x = - ∂ ∂ x k Q L 2 + x + L 2 + k Q L 2 + x - L 2

E x = - k Q ∂ ∂ x L 2 + x + L 2 - 1 2 + L 2 + x - L 2 - 1 2

E x = - k Q - 1 2 L 2 + x + L 2 - 3 2 × 2 x + L - 1 2 L 2 + x - L 2 - 3 2 × 2 x - L

E x = k Q x + L L 2 + x + L 2 3 2 + x - L L 2 + x - L 2 3 2

Passo 5

Já as outras derivadas, graças à Deus, dão zero pois o potencial não depende de y nem de z :

E y = - ∂ V ∂ y = 0

E z = - ∂ V ∂ z = 0

Logo:

E → = E x i ^

E → = k Q x + L L 2 + x + L 2 3 2 + x - L L 2 + x - L 2 3 2 i ^

Passo 6

Temos que a definição de potencial elétrico é a de energia potencial por unidade de carga, portanto:

V = U q

Se quisermos a energia potencial basta multiplicar pela carga o potencial:

U = V q

U = k Q L 2 + x + L 2 + k Q L 2 + x - L 2 q

Morreu? = ]

Resposta

a)

V = k Q 1 L 2 + x + L 2 + 1 L 2 + x - L 2

b)

E → = k Q x + L L 2 + x + L 2 3 2 + x - L L 2 + x - L 2 3 2 i ^

c)

U = k Q q 1 L 2 + x + L 2 + 1 L 2 + x - L 2

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