Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Densidade de Carga, Campos Elétricos e Corpos Carregados, Potencial Elétrico

Considere um semi-anel circular, fino, de raio R , situado no plano z = 0 , conforme mostra a figura. Suponha que a densidade linear de carga de tal semi-anel seja dada por

λ ϕ = C sen ⁡ ϕ

0 ≤ ϕ ≤ π

C = c o n s t .

onde ϕ é o tradicional ângulo polar, medido no sentido anti-horário, a partir do eixo x .

a Qual é a carga elétrica total, Q , do semi-anel?

b Calcule o campo elétrico E → na origem.

c Calcule o potencial eletrostático V P em um ponto qualquer do eixo Z , com cota z ≠ 0 (Sabendo-se que o potencial no infinito é nulo).

d Que componente(s) do campo elétrico, no mesmo ponto mencionado no item c , pode(m) ser deduzida(s) a partir do resultado obtido no item anterior? Justifique e deduza-a(s).

Passo 1

a Qual é a carga elétrica total, Q , do semi-anel?

A carga no semi-anel está associada à densidade linear de carga pela equação:

λ ϕ = d q d s

d q = λ ϕ d s

Onde d s = R   d ϕ , logo:

d q = λ ϕ R   d ϕ

Q = ∫ 0 π λ ϕ R   d ϕ

Q = ∫ 0 π C sen ⁡ ϕ R   d ϕ = C R ∫ 0 π sen ⁡ ϕ   d ϕ

Q = - C R cos ⁡ ϕ 0 π

Q = - C R - 1 - 1

Q = 2 C R

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Calcule o campo elétrico E → na origem.

Vamos começar escrevendo o campo elétrico d E → gerado por um pedaço infinitesimal do semi-anel, de carga d q .

d E → = 1 4 π ϵ 0 d q r 2 r ^  

Vamos analisar graficamente a situação:

Daqui podemos tirar que:

r ^ = - cos ⁡ ϕ x ^ - sen ⁡ ϕ y ^

r = R

d q = λ ϕ R   d ϕ

d q = C R sen ⁡ ϕ   d ϕ

0 ≤ ϕ ≤ π

Logo:

E → = C R 4 π ϵ 0 R 2 ∫ 0 π sen ⁡ ϕ - cos ⁡ ϕ x ^ - sen ⁡ ϕ y ^   d ϕ

E → = - C 4 π ϵ 0 R ∫ 0 π sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ x ^ + sen 2 ⁡ ϕ y ^   d ϕ

Antes de continuar, vamos resolver essas integrais, beleza?

Passo 3

∫ sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ   d ϕ

Vamos fazer uma substituição simples:

u = sen ⁡ ϕ

d u = cos ⁡ ϕ d ϕ

Logo:

∫ u   d u = u 2 2

Substituindo u de volta, teremos:

∫ sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ   d ϕ = sen 2 ⁡ ϕ 2

Beleza, agora vamos resolver a segunda integral:

∫ sen 2 ⁡ ϕ   d ϕ

Aqui vamos precisar lembrar da seguinte identidade trigonométrica:

sen 2 ⁡ ϕ = 1 - cos ⁡ 2 ϕ 2

Sendo assim, teremos:

∫ sen 2 ⁡ ϕ   d ϕ = ∫ 1 - cos ⁡ 2 ϕ 2   d ϕ = ϕ 2 - sen ⁡ 2 ϕ 4

Agora sim, vamos voltar ao problema.

Passo 4

E → = - C 4 π ϵ 0 R ∫ 0 π sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ x ^ + sen 2 ⁡ ϕ y ^   d ϕ

E → = - C 4 π ϵ 0 R sen 2 ⁡ ϕ 2 x ^ + ϕ 2 - sen ⁡ 2 ϕ 4 y ^ 0 π

Substituindo os valores, teremos:

E → = - C 4 π ϵ 0 R π 2 y ^

E → = - C 8 ϵ 0 R y ^

Passo 5

c Calcule o potencial eletrostático V P em um ponto qualquer do eixo Z , com cota z ≠ 0 (Sabendo-se que o potencial no infinito é nulo).

Vamos começar da mesma forma que fizemos na letra b , escrevendo, agora, a expressão do potencial d V gerado por uma carga d q do semi-anel.

d V = 1 4 π ϵ 0 d q r

Onde:

d q = C R sen ⁡ ϕ   d ϕ

0 ≤ ϕ ≤ π

r = z 2 + R 2

Logo:

V P = 1 4 π ϵ 0 ∫ 0 π C R sen ⁡ ϕ z 2 + R 2   d ϕ

V P = 1 4 π ϵ 0 C R z 2 + R 2 ∫ 0 π sen ⁡ ϕ   d ϕ

V P = - 1 4 π ϵ 0 C R z 2 + R 2 cos ⁡ ϕ 0 π

V P = - 1 4 π ϵ 0 C R z 2 + R 2 - 1 - 1

Finalmente:

V P = 1 4 π ϵ 0 2 C R z 2 + R 2

Passo 6

d Que componente(s) do campo elétrico, no mesmo ponto mencionado no item c , pode(m) ser deduzida(s) a partir do resultado obtido no item anterior? Justifique e deduza-a(s).

De acordo com a expressão calculada no item c

V P = 1 4 π ϵ 0 2 C R z 2 + R 2

O potencial elétrico varia somente em função de z . Assim, somente a componente em E z do campo elétrico pode ser calculada.

Logo:

E z = - ∂ V ∂ z

E z = - ∂ ∂ z 1 4 π ϵ 0 2 C R z 2 + R 2

E z = - 2 C R 4 π ϵ 0 ∂ ∂ z 1 z 2 + R 2

Finalmente:

E z = C R 2 π ϵ 0 z z 2 + R 2 3 / 2  

Resposta

a

Q = 2 C R

b

E → = - C 8 ϵ 0 R y ^

c

V P = 1 4 π ϵ 0 2 C R z 2 + R 2

d

E z = C R 2 π ϵ 0 z z 2 + R 2 3 / 2

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